Đề kiểm tra 45 phút hình Oxyz

(NHC 2015 - 2016)

Câu 1. Trong không gian \(Oxyz\), cho 4 điểm không đồng phẳng: \(A(5;3;-1)\), \(B(2;3;-4)\), \(C(1;2;0)\), \(D(3;1;-2).\)

1. Tìm toạ độ vectơ \(\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right].\)
2. Viết phương trình mặt phẳng \((ABC).\)

Câu 2. Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M(-1;2;3)\) và mặt phẳng \((\alpha): 2x+2y-z+9=0\).

1. Tính khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((\alpha)\), từ đó viết phương trình mặt cầu tâm \(I\) vàt iếp xúc với mặt phẳng \((\alpha).\)
2. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của \(M\) trên \((\alpha).\)

Câu 3. Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S): x^2+y^2+z^2-2x+2y+4z-3=0\) và hai đường thẳng \(\Delta_1: \dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z}{1},\) \(\Delta_2: \begin{cases}x=1-t\\y=t\\z=-t\end{cases}.\) Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu \((S)\) biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2.\)

Câu 4. Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(OABC\) với \(A(1;0;0)\), \(B(0;2;0)\) và \(C\) di động trên mặt cầu \((S): x^2+y^2+z^2-2x+2y-4z-10=0\). Tìm thể tích lớn nhất của khối tứ diện \(OABC\).

Hướng dẫn. Nhận xét \(A \in Ox\), \(B\in Oy\), \(O\) là gốc toạ độ nên tam giác \(OAB\) nằm trong mặt phẳng \(Oxy\) và vuông tại \(O\). Ta có \(OA=1\), \(OB=2\) nên \(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}.OA.OB=\dfrac{1}{2}.1.2=1\). Gọi \(C(x_0;y_0;z_0)\) thì \(\mathrm{d}(C,(OAB))=|z_0|\).Ta có \(V_{OABC}=\dfrac{1}{3}.S_{OAB}.\mathrm{d}(C,(OAB))=\dfrac{1}{3}|z_0|\). Vì \(C\) thuộc mặt cầu nên

\[\begin{array}{l}&x_0^2+y_0^2+z_0^2-2x_0+2y_0-4z_0-10=0\\ \Leftrightarrow&(x_0-1)^2+(y_0+1)^2+(z_0-2)^2=16\end{array}\]

Suy ra \((z_0-2)^2\le 16 \Leftrightarrow -2\le z_0\le 6\). Suy ra \(|z_0|\) lớn nhất bằng 6 khi \(C(1;-1;6)\). Vậy thể tích lớn nhất của tứ diện \(OABC\) bằng 2.