Đề kiểm tra 45 phút hình Oxy

(NHC 2015 - 2016)

Câu 1. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho 2 điểm \(A(3;-1), B(4;2)\) và đường thẳng \(d: x-2y+3=0\).

1. Lập phương trình tham số của đường thẳng \(AB\).
2. Lập phương trình trung trực \(d_1\) của đoạn thẳng \(AB\).
3. Lập phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(B\) và vuông góc với \(d\).

Câu 2. Lập phương trình đường tròn đường kính \(AB\) cho biết \(A(1;-1)\), \(B(1;4)\).

Câu 3. Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(d: 4x-3y+8=0\) và đường tròn \((C): x^2+y^2-4x+6y-12=0\). Lập phương trình tiếp tuyến \(\Delta\) của đường tròn \((C)\) biết rằng \(\Delta\) vuông góc với đường thẳng \(d\).

Câu 4. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) có phương trình các đường thẳng \(AB, BC\) và đường phân giác trong của góc \(A\) lần lượt là \(x-y-3=0\), \(2x+y=0,\) \(3x-y+5=0.\) Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác \(ABC.\)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.

1. Đường thẳng \(AB\) qua \(A(3;-1)\) nhận \(\overrightarrow{AB}=(1;3)\) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số \(\begin{cases}x=3+t\\y=-1+3t\end{cases}(t\in\mathbb{R})\).
2. Trung trực \(d_1\) của \(AB\) đi qua trung điểm \(H(\frac{7}{2};\frac{1}{2})\) của \(AB\) và nhận \(\overrightarrow{AB}=(1;3)\) làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình của \(d_1\) là: \(1(x-\frac{7}{2})+3(y-\frac{1}{2})=0\Leftrightarrow x+3y-5=0\).
3. Vì \(\Delta\) vuông góc với \(d: x-2y+3=0\) nên phương trình \(\Delta\) có dạng \(2x+y+m=0\). Ta có \(B(4;2)\in\Delta\) nên \(10+m=0\Leftrightarrow m=-10\). Vậy \(\Delta: 2x+y-10=0\).

Câu 2. Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(I(1;\frac{3}{2})\) và \(I\) là tâm của đường tròn đường kính \(AB\). Bán kính đường tròn là \(R=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\sqrt{0^2+5^2}=\dfrac{5}{2}\). Vậy phương trình đường tròng đường kính \(AB\) là \((x-1)^2+(y-\frac{3}{2})^2=\dfrac{25}{4}\).

Câu 3. Đường tròn đã cho có tâm \(I(2;-3)\), bán kính \(R=\sqrt{4+9+12}=5\). Vì tiếp tuyến \(\Delta\) vuông góc với \(d: 4x-3y+8=0\) nên phương trình \(\Delta\) có dạng \(3x+4y+m=0\). Vì \(\Delta\) tiếp xúc với đường tròn nên

\[\begin{array}{ll}&d(I,\Delta )=R\\ \Leftrightarrow &\dfrac{|6-12+m|}{\sqrt{9+16}}=5\\ \Leftrightarrow &|m-6|=5\\ \Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}m-6=25\\m-6=-25\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}m=31\\m=-19\end{array}\right.\end{array}\]

Vậy có 2 tiếp tuyến có phương trình \(3x+4y+31=0\), \(3x+4y-19=0\).

Câu 4. Đặt \(d_1: x-y-3=0\), \(d_2: 2x+y=0\), \(d_3: 3x-y+5=0\). Điểm \(A(x;y)\) là giao điểm của \(d_1\) và \(d_3\) nên ta có \(\begin{cases}x-y-3=0\\3x-y+5=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-4\\y=-7\end{cases}\). Suy ra \(A(-4;-7)\). Điểm \(B(x;y)\) là giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\) nên ta có \(\begin{cases}x-y-3=0\\2x+y=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}\). Suy ra \(B(1;-2)\). Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua phân giác trong \(d_3\) của góc \(A\) thì \(D\in AC\). Gọi \(\Delta\) là đường thẳng qua \(B\) và vuông góc với \(d_3\) ta viết được phương trình \(\Delta: x+3y+5=0\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(\Delta\) và \(d_3\) thì \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(d_3\). Ta tìm được \(H(-2;-1)\). Vì \(H\) là trung điểm \(BD\) nên ta được \(D(-5;0)\). Phương trình \(AD: 7x+y+35=0\). Điểm \(C\) là giao điểm của \(AD\) và \(d_2\) nên ta được \(C(-7;14)\).