Đề kiểm tra 45 phút hình Oxy

(NHC 2015 - 2016)

Câu 1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho 2 điểm $A(3;-1), B(4;2)$ và đường thẳng $d: x-2y+3=0$.

1. Lập phương trình tham số của đường thẳng $AB$.
2. Lập phương trình trung trực $d_1$ của đoạn thẳng $AB$.
3. Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $B$ và vuông góc với $d$.

Câu 2. Lập phương trình đường tròn đường kính $AB$ cho biết $A(1;-1)$, $B(1;4)$.

Câu 3. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $d: 4x-3y+8=0$ và đường tròn $(C): x^2+y^2-4x+6y-12=0$. Lập phương trình tiếp tuyến $\Delta$ của đường tròn $(C)$ biết rằng $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $d$.

Câu 4. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ có phương trình các đường thẳng $AB, BC$ và đường phân giác trong của góc $A$ lần lượt là $x-y-3=0$, $2x+y=0,$ $3x-y+5=0.$ Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác $ABC.$

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.

1. Đường thẳng $AB$ qua $A(3;-1)$ nhận $\overrightarrow{AB}=(1;3)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số $\begin{cases}x=3+t\\y=-1+3t\end{cases}(t\in\mathbb{R})$.
2. Trung trực $d_1$ của $AB$ đi qua trung điểm $H(\frac{7}{2};\frac{1}{2})$ của $AB$ và nhận $\overrightarrow{AB}=(1;3)$ làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình của $d_1$ là: $1(x-\frac{7}{2})+3(y-\frac{1}{2})=0\Leftrightarrow x+3y-5=0$.
3. Vì $\Delta$ vuông góc với $d: x-2y+3=0$ nên phương trình $\Delta$ có dạng $2x+y+m=0$. Ta có $B(4;2)\in\Delta$ nên $10+m=0\Leftrightarrow m=-10$. Vậy $\Delta: 2x+y-10=0$.

Câu 2. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ ta có $I(1;\frac{3}{2})$ và $I$ là tâm của đường tròn đường kính $AB$. Bán kính đường tròn là $R=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}\sqrt{0^2+5^2}=\dfrac{5}{2}$. Vậy phương trình đường tròng đường kính $AB$ là $(x-1)^2+(y-\frac{3}{2})^2=\dfrac{25}{4}$.

Câu 3. Đường tròn đã cho có tâm $I(2;-3)$, bán kính $R=\sqrt{4+9+12}=5$. Vì tiếp tuyến $\Delta$ vuông góc với $d: 4x-3y+8=0$ nên phương trình $\Delta$ có dạng $3x+4y+m=0$. Vì $\Delta$ tiếp xúc với đường tròn nên

$\begin{array}{ll}&d(I,\Delta )=R\\ \Leftrightarrow &\dfrac{|6-12+m|}{\sqrt{9+16}}=5\\ \Leftrightarrow &|m-6|=5\\ \Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}m-6=25\\m-6=-25\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}m=31\\m=-19\end{array}\right.\end{array}$

Vậy có 2 tiếp tuyến có phương trình $3x+4y+31=0$, $3x+4y-19=0$.

Câu 4. Đặt $d_1: x-y-3=0$, $d_2: 2x+y=0$, $d_3: 3x-y+5=0$. Điểm $A(x;y)$ là giao điểm của $d_1$ và $d_3$ nên ta có $\begin{cases}x-y-3=0\\3x-y+5=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-4\\y=-7\end{cases}$. Suy ra $A(-4;-7)$. Điểm $B(x;y)$ là giao điểm của $d_1$ và $d_2$ nên ta có $\begin{cases}x-y-3=0\\2x+y=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=-2\end{cases}$. Suy ra $B(1;-2)$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $B$ qua phân giác trong $d_3$ của góc $A$ thì $D\in AC$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $B$ và vuông góc với $d_3$ ta viết được phương trình $\Delta: x+3y+5=0$. Gọi $H$ là giao điểm của $\Delta$ và $d_3$ thì $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên $d_3$. Ta tìm được $H(-2;-1)$. Vì $H$ là trung điểm $BD$ nên ta được $D(-5;0)$. Phương trình $AD: 7x+y+35=0$. Điểm $C$ là giao điểm của $AD$ và $d_2$ nên ta được $C(-7;14)$.