Đề kiểm tra 45 phút hình không gian

(NHC 2015 - 2016)

Câu 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt{2}\), \(SB\bot(ABCD)\), \(SB=a\sqrt{3}.\)

1. Chứng minh \(AC\bot(SBD).\)
2. Chứng minh \((SAD)\bot(SAB).\)
3. Chứng minh \(BC\bot SA.\)
4. Xác định và tính góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((SAB).\)

Câu 2. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là một tam giác đều cạnh \(2a.\) Hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) trên đáy là trung điểm \(I\) của cạnh \(AC\). Cạnh bên \(SB\) tạo với đáy góc \(45^\circ\).

1. Tính góc giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC.\)
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SBC).\)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 2.

1. Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm \(SB, SC\). Ta có \(MN \parallel BC\) và \(NI \parallel SA\) nên góc giữa \(SA\) và \(BC\) bằng góc giữa \(MN\) và \(NI\). Vì \(SI\bot(ABC)\) nên hình chiếu của \(SB\) lên \((ABC)\) là \(BI\), suy ra góc giữa \(SB\) và \((ABC)\) là \(\widehat{SBI}=45^\circ\). \(BI\) là đường cao tam giác đều cạnh \(2a\) nên \(BI=2a.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\). Tam giác \(SBI\) vuông cân tại \(I\) có trung tuyến \(IM\) cũng là đường cao nên \(MI=BI.\sin 45^\circ=BI.\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\). Ta có \(MN=\dfrac{BC}{2}=a\). Tam giác \(SIA\) vuông tại \(I\) nên \(SA=\sqrt{SI^2+IA^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=2a\). Suy ra \(IN=\dfrac{SA}{2}=a\). Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(MNI\) \[\begin{array}{lll}\cos \widehat{MNI} &=&\dfrac{MN^2+NI^2-MI^2}{2.MN.NI} \\ &=& \dfrac{a^2+a^2-\dfrac{3a^2}{2}}{2a.a} \\ &=& \dfrac{1}{4} \end{array}\] Suy ra \(\widehat{MNI}\approx 75^\circ 31'\). Vậy góc giữa \(SA\) và \(BC\) \(\approx 75^\circ 31'\).

2. Ta có \((SAB)\cap(SBC)=SB\quad (1)\). Ta có \(AC\bot SI\) và \(AC\bot BI\) nên \(AC\bot SB\). Ta lại có \(SB\bot MI\) nên suy ra \(SB\bot (MAC)\). Suy ra \(SB\bot MA\quad (2)\) và \(SB\bot MC\quad (3)\). Từ (1), (2), (3) suy ra góc giữa \((SAB)\) và \((SBC)\) bằng góc giữa \(MA\) và \(MC\). Tam giác \(MAC\) cân tại \(M\) có trung tuyến \(MI\) cũng là phân giác và đường cao. Ta có \(\tan\widehat{IMA}=\dfrac{IA}{MI}=\dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{6}}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\). Suy ra \(\widehat{IMA}\approx 39^\circ 14'\). Suy ra \(\widehat{AMC}=2\widehat{IMA}\approx 78^\circ 28'\). Vậy góc giữa \((SAB)\) và \((SBC) \approx 78^\circ 28'\).