Đáp án thi học kì 2 Toán 10 2015 - 2016 NHC

ĐỀ

Câu 1. Giải các phương trình và bất phương trình sau

1. \(\sqrt{4-6x-x^2}=x+4\)
2. \(\dfrac{9x-30}{x-4}\le\dfrac{14x}{x+1}\)

Câu 2.

1. Cho \(\sin\alpha=\dfrac{3}{5}\), với \(\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi.\) Tính giá trị của biểu thức \(A=2\cos\alpha+\sin2\alpha.\)
2. Chứng minh đẳng thức \[\tan x-\cot x=\sin^2x.\tan x-\cos^2x.\cot x\]

Câu 3. Xác định tham số \(m\) để phương trình \(x^2-2(m+1)x+5m+1=0\) có hai nghiệm dương \(x_1, x_2\) thoả \(x_1+x_1^2+x_2+x_2^2=68.\)

Câu 4. Giải bất phương trình \(\sqrt{x}+\sqrt{1-3x}\le4x-1.\)

Câu 5. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) biết \(A(3;2),\) \(B(-1;1),\) \(C(2;-2).\) Viết phương trình đường cao xuất phát từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC.\)

Câu 6. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy,\) viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \((C):x^2+y^2-6x-4=0,\) biết tiếp điểm là \(A(6;2).\)

Câu 7. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy,\) cho hình vuông \(ABCD\). Điểm \(M\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(MB=3MA,\) điểm \(N\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(NC=3NB.\) Biết toạ độ các điểm \(A(-1;5),\) \(M(-\frac{3}{2};4),\) \(N(-2;\frac{1}{2}).\) Viết phương trình cạnh \(DM.\)

ĐÁP ÁN

Câu 1.

1. \(\sqrt{4-6x-x^2}=x+4\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x+4\ge0\\4-6x-x^2=(x+4)^2\end{cases}\)   (0.25 + 0.5)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge-4\\2x^2+14x+12=0\end{cases}\)   (0.25)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge-4\\\left[\begin{array}{l}x=-1\\x=-6\end{array}\right.\end{cases}\)   (0.25)

\(\Leftrightarrow x=-1\)   (0.25)

2. \(\dfrac{9x-30}{x-4}\le\dfrac{14x}{x+1}\Leftrightarrow\dfrac{9x-30}{x-4}-\dfrac{14x}{x+1}\le0\)   (0.25)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-5x^2+35x-30}{(x-4)(x+1)}\le0\)   (0.25)

Bảng xét dấu   (0.25)

Tập nghiệm \(S=(-\infty)\cup[1;4)\cup[6;+\infty)\)   (0.25)

Câu 2.

1. \(\cos^2a=1-\sin^2a=\dfrac{16}{25}\)   (0.25)

Vì \(\cos a<0\) nên \(\cos a=-\dfrac{4}{5}\)   (0.25)

\(\sin2a=2\sin a\cos a\)   (0.25)

\(=-\dfrac{64}{25}\)   (0.25)

2. Có nhiều cách giải   (1.5)

Câu 3. Nêu được điều kiện để pt có nghiệm (chưa cần giải ra \(m\))   (0.25)

\(x_1+x_1^2+x_2+x_2^2=68\Leftrightarrow x_1+x_2+(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=68\)

\(\Leftrightarrow2(m+1)+4(m+1)^2-2(5m+1)=68\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=4\\m=-4\end{array}\right.\)   (0.25)

\(m=4\) thoả điều kiện có nghiệm   (0.25)

\(m=-4\) không thoả điều kiện có nghiệm   (0.25)

Câu 4. \(\sqrt{x}+\sqrt{1-3x}\le4x-1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{1-3x}\le\left(\sqrt{x}+\sqrt{1-3x}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{1-3x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{1-3x}\right)\left(1-\sqrt{x}+\sqrt{1-3x}\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow1-\sqrt{x}+\sqrt{1-3x}\le0\)   (0.25)

Vô nghiệm, vì với điều kiện xác định là \(0\le x\le\frac{1}{3}\) thì \(1+\sqrt{1-3x}\ge1\ge\sqrt{x}\)   (0.25)

Câu 5. \(\overrightarrow{BC}=(3;-3)\)   (0.25)

là vectơ pháp tuyến của đường cao qua \(A\)  (0.25)

Phương trình đường cao là \(3(x-3)-3(y-2)=0\)   (0.5)

\(\Leftrightarrow3x-3y-3=0\) hoặc \(x-y-1=0\)   (0.5)

Câu 6. Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(3;0)\)   (0.5)

Tiếp tuyến tại \(A(6;2)\) nhận \(\overrightarrow{IA}=(3;2)\) làm vectơ pháp tuyến   (0.5)

nên có phương trình \(3(x-6)+2(y-2)=0\)   (0.25)

hay \(3x+2y-14=0\)   (0.25)

Câu 7.

Ta có \(\widehat{ADM}=\widehat{BAN}\) vì \(\triangle ADM=\triangle BAN\) (c-g-c). Mặt khác \(\widehat{ADM}\) phụ với \(\widehat{AMD}\) nên \(\widehat{BAN}\) cũng phụ với \(\widehat{AMD}\). Từ đó suy ra \(DM\bot AN.\)   (0.25)

Phương trình đường thẳng \(DM\) qua \(M\) và vuông góc với \(AN\) là \((x+\frac{3}{2})+\frac{9}{2}(y-4)=0\Leftrightarrow2x+9y+33=0\)   (0.25)

(không chứng minh vuông góc mà viết phương trình thì không cho điểm)