Đáp án kiểm tra 30 phút phương trình đường thẳng và phương trình đường tròn

Đề 1

Bài 1. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho 2 điểm \(A(-3;1)\), \(B(4;2)\).

1. Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm \(A\) và \(B\).
2. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \(d: x-2y+4=0\).

Bài 2. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).

1. Lập phương trình đường tròn \((C)\) tâm \(I(-3;0)\) và đi qua điểm \(M(4;0).\)
2. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn của câu trên biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(\Delta: x-y-3=0\).

Bài 3. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho 3 điểm \(A(-2;1)\), \(B(1;3)\), \(C(2;5)\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) thoả mãn \[MA^2+MB^2+MC^2=44.\]

ĐÁP ÁN ĐỀ 1

Bài 1.

1. Đường thẳng \(AB\) qua \(A(-3;1)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=(7;1)\) nên có phương trình tham số là \[\left\{\begin{array}{l}x=-3+7t\\y=1+t\end{array}\right.\]

2. Gọi \(d_1\) là đường thẳng cần lập phương trình. Vì \(d_1\) vuông góc với \(d\) nên phương trình \(d_1\) có dạng \(2x+y+m=0\). Điểm \(A(-3;1) \in d_1\) nên \(-6+1+m=0 \Leftrightarrow m=5\). Vậy phương trình \(d_1: 2x+y+5=0\).

Bài 2.

1. Ta có \(\overrightarrow{IM}=(7;0)\). Đường tròn tâm \(I\) đi qua \(M\) có bán kính \(R=IM=\sqrt{7^2+0^2}=7\). Vậy phương trình đường tròn này là \((x+3)^2+y^2=49.\)

2. Gọi \(\Delta_1\) là tiếp tuyến cần lập phương trình. Vì \(\Delta_1\) song song với \(\Delta\) nên phương trình \(\Delta_1\) có dạng \(x-y+m=0\) (với \(m\ne -3\)). Vì \(\Delta_1\) tiếp xúc với đường tròn nên
\[\begin{array}{ll}&d(I,\Delta_1)=R\\ \Leftrightarrow &\dfrac{|-3+m|}{\sqrt{2}}=7\\ \Leftrightarrow &|-3+m|=7\sqrt{2}\\ \Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}-3+m=7\sqrt{2}\\-3+m=-7\sqrt{2}\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}m=3+7\sqrt{2}\quad \text{(nhận)}\\m=3-7\sqrt{2}\quad \text{(nhận)}\end{array}\right.\end{array}\]

Vậy có 2 tiếp tuyến có phương trình \(x-y+3\pm 7\sqrt{2}=0.\)

Bài 3.

Gọi \(M(a;b)\). Ta có
\[\begin{array}{ll}&MA^2+MB^2+MC^2=44\\ \Leftrightarrow & (a+2)^2+(b-1)^2+(a-1)^2+(b-3)^2+(a-2)^2+(b-5)^2=44\\ \Leftrightarrow &3a^2+3b^2-2a-18b-1=0\\ \Leftrightarrow &a^2+b^2-\frac{2}{3}a-6b-\frac{1}{3}=0\end{array}\]
Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn có phương trình \(x^2+y^2-\frac{2}{3}x-6y-\frac{1}{3}=0\). Đường tròn này có tâm \(I(\frac{1}{3};3)\), bán kính \(R=\sqrt{\frac{1}{9}+9+\frac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{85}}{3}\).

Đề 2

Bài 1. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho 2 điểm \(A(-1;3)\), \(B(4;2)\).

1. Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm \(A\) và \(B\).
2. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \(d: 2x+3y-1=0\).

Bài 2. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\).

1. Lập phương trình đường tròn \((C)\) tâm \(I(-1;2)\) và đi qua điểm \(M(2;0).\)
2. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn của câu trên biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(\Delta: x-y+1=0\).

Bài 3. Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho 3 điểm \(A(1;2)\), \(B(-3;1)\), \(C(4;1)\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) thoả mãn \[MA^2+MB^2=MC^2.\]

ĐÁP ÁN ĐỀ 2

Bài 1.

1. Đường thẳng \(AB\) qua \(A(-1;3)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{AB}=(5;-1)\) nên có phương trình tham số là \[\left\{\begin{array}{l}x=-1+5t\\y=3-t\end{array}\right.\]

2. Gọi \(d_1\) là đường thẳng cần lập phương trình. Vì \(d_1\) vuông góc với \(d: 2x+3y-1=0\) nên phương trình \(d_1\) có dạng \(3x-2y+m=0\). Điểm \(A(-1;3) \in d_1\) nên \(-3-6+m=0 \Leftrightarrow m=9\). Vậy phương trình \(d_1: 3x-2y+9=0\).

Bài 2.

1. Ta có \(\overrightarrow{IM}=(3;-2)\). Đường tròn tâm \(I\) đi qua \(M\) có bán kính \(R=IM=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\). Vậy phương trình đường tròn này là \((x+1)^2+(y-2)^2=13.\)

2. Gọi \(\Delta_1\) là tiếp tuyến cần lập phương trình. Vì \(\Delta_1\) song song với \(\Delta\) nên phương trình \(\Delta_1\) có dạng \(x-y+m=0\) (với \(m\ne 1\)). Vì \(\Delta_1\) tiếp xúc với đường tròn nên
\[\begin{array}{ll}&d(I,\Delta_1)=R\\ \Leftrightarrow &\dfrac{|-1-2+m|}{\sqrt{2}}=\sqrt{13}\\ \Leftrightarrow &|-3+m|=\sqrt{26}\\ \Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}-3+m=\sqrt{26}\\-3+m=-\sqrt{26}\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}m=3+\sqrt{26}\quad \text{(nhận)}\\m=3-\sqrt{26}\quad \text{(nhận)}\end{array}\right.\end{array}\]

Vậy có 2 tiếp tuyến có phương trình \(x-y+3\pm \sqrt{26}=0.\)

Bài 3.

Gọi \(M(a;b)\). Ta có
\[\begin{array}{ll}&MA^2+MB^2+MC^2=44\\ \Leftrightarrow & (a-1)^2+(b-2)^2+(a+3)^2+(b-1)^2=(a-4)^2+(b-1)^2\\ \Leftrightarrow &a^2+b^2+12a-4b-3=0\end{array}\]
Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn có phương trình \(x^2+y^2+12x-4y-3=0\). Đường tròn này có tâm \(I(-6;2)\), bán kính \(R=\sqrt{36+4+3}=\sqrt{43}\).

(Đề giáo sinh thực tập (cô Ngân) cho kiểm tra lớp 10A5)