Công thức bất phương trình chứa căn

Một số công thức biến đổi tương đương bất phương trình chứa căn

Giả sử ta muốn giải bất phương trình theo ẩn \(x\), để cho tiện ta xem \(A, B\) là các biểu thức theo biến \(x\).

• Xét bất phương trình \(\sqrt{A}<B\). Ta cần điều kiện \(A \ge 0\) để căn bậc hai có nghĩa. Cần \(B\ge 0\) để ta bình phương 2 vế. Do đó ta có công thức \[\sqrt{A}<B \Leftrightarrow\begin{cases}A\ge0\\B\ge0\\A<B^2\end{cases}\]

Có ý kiến cho rằng, dòng thứ 2 ở vế phải đáng ra phải là \(B>0\), tuy nhiên vì ở dòng thứ 3 ta đã có \(A<B^2\) nên chắc chắn \(B>0\). Công thức sau đây cũng đúng: \(\sqrt{A}<B \Leftrightarrow\begin{cases}A\ge0\\B>0\\A<B^2\end{cases}.\)

• Nếu ở vế trái có dấu bằng \(\sqrt{A} \le B\), ta chỉ cần thêm \(=\) ở dòng mà ta thực hiện bình phương 2 vế, ta có công thức \[\sqrt{A} \le B \Leftrightarrow\begin{cases}A\ge0\\B\ge 0\\A\le B^2\end{cases}\]
• Xét bất phương trình \(\sqrt{A}>B\). Ta có 2 trường hợp: Trường hợp \(B<0\) thì hiển nhiên đúng, trường hợp \(B \ge 0\) thì ta bình phương 2 vế. Ta có công thức \[\sqrt{A}>B \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\begin{cases}B<0\\A\ge0\end{cases}\\\begin{cases}B\ge0\\A>B^2\end{cases}\end{array}\right.\]
• Nếu thêm dấu \(=\) ở vế trái thì ta chỉ cần thêm \(=\) ở vế phải tại dòng mà ta bình phương 2 vế, ta có \[\sqrt{A} \ge B \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\begin{cases}B<0\\A\ge0\end{cases}\\\begin{cases}B\ge0\\A \ge B^2\end{cases}\end{array}\right.\]

Việc điều chỉnh vị trí các dấu bằng có thể còn tạo ra công thức khác nữa. Tuy nhiên, với 4 công thức trên đây là đủ để ta giải các bất phương trình vô tỉ cơ bản.

Tóm tại, ta có 4 công thức biến đổi cơ bản sau cần nhớ:

\(\sqrt{A}<B \Leftrightarrow\begin{cases}A\ge0\\B\ge0\\A<B^2\end{cases}\)
\(\sqrt{A} \le B \Leftrightarrow\begin{cases}A\ge0\\B\ge 0\\A\le B^2\end{cases}\)
\(\sqrt{A}>B \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\begin{cases}B<0\\A\ge0\end{cases}\\\begin{cases}B\ge0\\A>B^2\end{cases}\end{array}\right.\)
\(\sqrt{A} \ge B \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\begin{cases}B<0\\A\ge0\end{cases}\\\begin{cases}B\ge0\\A \ge B^2\end{cases}\end{array}\right.\)

BÀI TẬP

Bài 1. Giải các bất phương trình

1. \(\sqrt{x^2+x-6} < x-1\)
2. \(\sqrt{2x-1} \le 2x-3\)
3. \(\sqrt{2x^2-1}>1-x\)
4. \(\sqrt{x^2-5x-14} \ge 2x-1\)
5. \(\sqrt{x^2+6x+8} \le 2x-3\)
6. \(\dfrac{2x-4}{\sqrt{x^2-3x-10}}>1\)
7. \(6\sqrt{(x-2)(x-32)} \le x^2-34x+48\)
8. \(\sqrt{x^2-x-12} \ge x-1\)
9. \(\sqrt{x^2-4x-12}>2x+3\)
10. \(\dfrac{\sqrt{x+5}}{1-x}<1\)
11. \((x-2)\sqrt{x^2+4} \le x^2-4\)
12. \(\sqrt{x(x+3)} \le 6-x^2-3x\)