Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Để chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể chứng minh nó tương đương với một bất đẳng thức đúng.

Bài 1. Chứng minh rằng \(a^2+b^2 \ge 2ab\) với mọi \(a, b \in \mathbb{R}\).

Bài 2. Chứng minh rằng \(\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\) với mọi số không âm \(a,b\).

Bài 3. Cho hai số không âm \(a, b\) chứng minh \(a^3+b^3 \ge a^2b+ab^2\).

Bài 4. Chứng minh \(a^4+b^4 \ge a^3b+ab^3\) với mọi số thực \(a,b\).

Bài 5. Chứng minh \(a^4+b^4+ab(a+b)^2 \ge 2a^2b^2\) với mọi số thực \(a, b\).

Giải. Ta có
\[\begin{array}{ll} & a^4+b^4+ab(a+b)^2 \ge 2a^2b^2 \\ \Leftrightarrow & a^4+b^4+a^3b+2a^2b^2+ab^3 \ge 2a^2b^2\\ \Leftrightarrow & a^b+b^4+a^3b+ab^3 \ge 0 \\ \Leftrightarrow & a^3(a+b)+b^3(a+b) \ge 0 \\ \Leftrightarrow & (a+b)(a+b)(a^2-ab+b^2) \ge 0 \\ \Leftrightarrow & (a+b)^2\left[\left(a-\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\right] \ge 0 \end{array}\]
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi \(a, b \in \mathbb{R}\), do đó ta có điều phải chứng minh.