Cấp số cộng

1. Định nghĩa

Dãy số \((u_n)\) gọi là cấp số cộng nếu tồn tại số thực \(d\) thoả mãn điều kiện \[u_{n+1}-u_n=d \; \forall n\in\mathbb{N^*}\]

Số thực \(d\) gọi là công sai của cấp số cộng.

Cấp số cộng được xác định khi biết \(u_1\) và \(d.\)

Ví dụ 1. Mỗi dãy số \((u_n)\) xác định bởi công thức dưới đây có là cấp số cộng hay không?

1. \(u_n=3n-2\)
2. \(u_n=\dfrac{n+2}{2}\)
3. \(u_n=n^2-1\)
4. \(u_n=1-\dfrac{5n}{3}\)

Câu 1. Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát nào sau đây KHÔNG là cấp số cộng?

A. \(u_n=\dfrac{n-4}{3}\)

B. \(u_n=\dfrac{2n+1}{n}\)

C. \(u_n=4-3n\)

D. \(u_n=\dfrac{3-4n}{5}\)

2. Công thức số hạng tổng quát

Cho cấp số cộng có số hạng đầu \(u_1\), công sai \(d\). Ta có \[u_n=u_1+(n-1)d\]

3. Tính chất số hạng của cấp số cộng

Trong ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng thì số hạng chính giữa bằng trung bình cộng của hai số hạng hai bên, nói cách khác \[\dfrac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}=u_k \; \forall k \ge 2\]

4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Cho cấp số cộng \((u_n).\) Đặt \(S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n.\) Ta có \[S_n=\dfrac{n}{2}\left(u_1+u_n\right)\] \[S_n=\dfrac{n}{2}\left[2u_1+(n-1)d\right]\]