Cách chứng minh đt vuông góc với mp

Để chứng minh đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((\alpha)\) ta chứng minh \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(a\) và \(b\) nằm trong \((\alpha)\).

Ví dụ 1. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\), \(SA \bot (ABC)\).

1. Chứng minh \(BC \bot (SAB)\).
2. Vẽ \(AH \bot SB\) với \(H \in SB\). Chứng minh \(AH \bot (SBC)\).
3. Gọi \(K\) là hình chiếu của \(A\) lên \(SC\), chứng minh \(SC \bot (AHK)\).

Giải.

Phân tích câu 1. Giả thiết cho \(SA \bot (ABC)\) nên \(SA\) vuông góc với mọi đường thẳng trong \((ABC)\). Như vậy ta có \(SA \bot AB\) và \(SA \bot AC\) (kí hiệu 2 góc vuông như trên hình). Ngoài ra \(SA \bot BC\) nhưng \(SA\) và \(BC\) chéo nhau nên ta không thể kí hiệu góc vuông lên hình vẽ được. Để chứng minh \(BC \bot (SAB)\) ta cần chứng minh \(BC\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong \((SAB)\). Ta thấy \(BC \bot AB\) vì \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\). Ta lại có \(BC \bot SA\) do giải thích ở trên có \(SA \bot (ABC) \supset BC\). Mà \(SA\) và \(AB\) cắt nhau nằm trong \((SAB)\) nên \(BC \bot (SAB)\).

Lời giải câu 1.

\(\left.\begin{array}{l}BC\bot AB \quad (\text{vì }\triangle ABC \text{ vuông tại } B) \\ BC\bot SA \quad (\text{vì }SA \bot (ABC) \supset BC) \\ SA\cap AB=A\end{array}\right\}\Longrightarrow BC \bot (SAB)\)

Phân tích câu 2. Ta chứng minh \(AH\) vuông với 2 đường thẳng cắt nhau trong \((SBC)\). Thứ nhất, \(AH \bot SB\) do giả thiết. Thứ hai, \(AH \bot BC\) vì \(BC \bot (SAB) \supset AH\).

Lời giải câu 2.

\(\left.\begin{array}{l}AH\bot SB \quad (\text{giả thiết}) \\ AH\bot BC \quad (\text{vì }BC\bot (SAB)\supset AH \\ SB\cap CB=B\end{array}\right\}\Longrightarrow AH \bot (SBC)\)

Phân tích câu 3. Ta chứng minh \(SC\) vuông với 2 đường thẳng cắt nhau trong \((AHK)\). Thứ nhất, \(SC \bot AK\) do giả thiết. Thứ hai, \(SC \bot AH\) vì \(AH \bot (SCB) \supset SC\).

Lời giải câu 3.

\(\left.\begin{array}{l}SC\bot AK \quad (\text{giả thiết}) \\ SC\bot AH \quad (\text{vì }AH\bot (SBC)\supset SC \\ AH\cap AK=A\end{array}\right\}\Longrightarrow SC \bot (AKH)\)

Tiếp theo: Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng