Các quy tắc đếm

Quy tắc cộng. Cho một công việc được hoàn thành bởi một trong hai phương án A hoặc B. Giả sử phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện. Khi đó số cách hoàn thành công việc là m + n. Quy tắc cộng này có thể được mở rộng cho nhiều phương án A, B, C, ...

Quy tắc nhân. Cho một công việc được hoàn thành bởi một chuỗi 2 công đoạn A, B (phải thực hiện cả 2 công đoạn thì mới xong công việc). Giả sử công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì có n cách thực hiện công đoạn B. Khi đó số cách hoàn thành công việc là m.n. Quy tắc nhân này có thể được mở rộng cho nhiều công đoạn A, B, C...

Thí dụ 1. Một bạn học sinh có 4 cuốn vở 100 trang khác nhau và 5 cuốn vở 200 trang khác nhau. Hỏi bạn ấy có bao nhiêu cách chọn 1 quyển làm vở ghi môn giáo dục công dân.

Giải. Số cách chọn 1 quyển làm vở ghi môn giáo dục công dân là: 4 + 5 = 9.

Thí dụ 2. Một bạn học sinh có 4 cuốn vở 100 trang khác nhau và 5 cuốn vở 200 trang khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu cách chọn một bộ gồm 2 quyển trong đó 1 quyển 100 trang làm vở lý thuyết môn Toán, 1 quyển 200 trang làm vở bài tập Toán.

Giải. Số cách chọn một bộ gồm 2 quyển theo yêu cầu là: 4.5 = 20.

Chú ý.

• Ta dùng quy tắc cộng khi thực hiện phương án A thì đã xong công việc và không phải thực hiện các phương án còn lại.
• Ta dùng quy tắc nhân khi công việc phải trải qua tất cả các công đoạn A, B, C, ...

BÀI TẬP

Bài 1. Một trung tâm tuyển sinh đại học có năm cổng. Có bao nhiêu cách chọn để một thí sinh bắt buộc vào một cổng và ra một cổng khác.

Bài 2. Có 6 con đường nối liền 2 thành phố A và B; có 4 con đường nối 2 thành phố B và C. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A qua B đến C rồi trở về A nếu:

1. Đi và về cùng một đường,
2. Đi và về bất cứ đường nào,
3. Đi và về nhưng không đi các đoạn đường đã đi

Bài 3. Có bao nhiêu cách chọn một cặp gà, gồm 1 trống và 1 mái trong một bầy gồm 7 con trống và 9 con mái?

Bài 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số lấy từ các chữ số \(0, 1, 2, 3, 4, 5\)?

Bài 5. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau?

Bài 6. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số khác nhau?

Bài 7. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau?

Bài 8. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5  chữ số khác nhau?

Bài 9. Từ 6 chữ số 1, 3, 5, 6, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:

1. Gồm 2 chữ số,
2. Gồm 3 chữ số khác nhau,
3. Số tự nhiên chẵn gồm 2 chữ số,
4. Số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số khác nhau,
5. Gồm 6 chữ số khác nhau,
6. Gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 5,
7. Gồm 2 chữ số và chữ số nào cũng chẵn,
8. Gồm 3 chữ số, trong đó có đúng một chữ số 3.

Bài 10. Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số mà cả hai đều là số chẵn.

Bài 11. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa phải giống nhau.

Bài 12. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó 2 chữ số kề nhau phải khác nhau.

Bài 13. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập được bao nhiêu

1. Số chẵn có 3 chữ số khác nhau,
2. Số có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 345.

Bài 14. Tìm tổng của tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được viết ra từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.

Bài 15. Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế. Người ta muốn xếp 6 nam sinh và 6 nữ sinh vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu hai học sinh ngồi đối diện phải khác phái.