Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
1. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy\) cho các vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1; a_2)\), \(\overrightarrow{b}=(b_1; b_2)\). Tích vô hướng của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) được tính bởi \[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\]
2. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)\) là \[\Big|\overrightarrow{a}\Big|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\]
3. Độ dài đoạn thẳng: Cho hai điểm \(A(x_A; y_A)\) và \(B(x_B; y_B)\). Toạ độ vectơ \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A; y_B-y_A).\) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là \[AB=\Big|\overrightarrow{AB}\Big|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]
4. Góc giữa hai vectơ: Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)\) được tính bởi công thức \[\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\big|\overrightarrow{a}\big|.\big|\overrightarrow{b}\big|}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2}}\]
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho các điểm \(A(1;2), B(0;1), C(4;3).\)
- Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}.\)
- Tính chu vi tam giác \(ABC.\)
- Tính cos của số đo góc \(A\) và góc \(B\) của tam giác \(ABC.\)
- Tính \(\sin B.\)
- Tính độ dài đường cao kẻ từ \(A\) của tam giác \(ABC.\)
- Tính diện tích tam giác \(ABC.\)
Chú ý: Với \(0^\circ\le\alpha\le 180^\circ\) thì ta có \(\sin\alpha >0\) và \[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha=1\]
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho các điểm \(A(1;2), B(0;1), C(3;-1).\)
- Tìm tọa độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC.\)
- Gọi \(H_1\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) của tam giác \(ABC.\) Tìm toạ độ của \(H_1.\)
- Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\) Tìm toạ độ của \(I.\)
- Tìm toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC.\) Ba điểm \(I, H, G\) có thẳng hàng không? Vì sao?