Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM - GM)

Trung bình cộng của n số không âm \(a_1, a_2, \cdots a_n\) là \(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\)

Trung bình nhân của n số không âm \(a_1, a_2, \cdots a_n\) là \(\sqrt[n]{a_1.a_2\ldots a_n}\)

Định lý. Trung bình cộng của \(n\) số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(n\) số không âm đó bằng nhau.

\[\dfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1.a_2\ldots a_n}\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a_1=a_2=\cdots=a_n.\)

Một số trường hợp đặc biệt:

• Trường hợp 2 số không âm \(a, b\) ta có: \(\dfrac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\)
• Trường hợp 3 số không âm \(a, b, c\) ta có: \(\dfrac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}\)
• Trường hợp 4 số không âm \(a, b, c, d\) ta có: \(\dfrac{a+b+c+d}{4}\ge \sqrt[4]{abcd}\)