Định lý cosin

Định lý

Trong tam giác \(ABC\) có

\[BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos A\]

Chứng minh

Ta có \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\). Bình phương hai vế ta được

\[\overrightarrow{BC}^2=\overrightarrow{AC}^2+\overrightarrow{AB}^2-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}.\cos A\]

\[=AB^2+AC^2-2.AB.AC.\cos A\]

Cách viết khác

Đặt \(AB=c, BC=a, CA=b.\) Ta có các công thức sau:

\[\begin{array}{l}a^2=b^2+c^2-2bc\cos A \\ b^2=c^2+a^2-2ca\cos B \\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C \end{array}\]

Hệ quả

\[\cos A = \dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}\]

Cách viết khác

\[\begin{array}{l} \cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\ \cos B = \dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \\ \cos C = \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \end{array}\]