Bài tập thể tích và khoảng cách thi quốc gia

Bài 1. Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có cạnh \(AC=a\), \(BC=2a\), \(\widehat{ACB}=120^\circ\) và đường thẳng \(A'C\) tạo với mặt phẳng \((ABB'A')\) một góc \(30^\circ\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BB'\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) và khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(CC'\) theo \(a\).

Bài 2. (ĐH 2011A). Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(AB=BC=2a\); hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAC)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\); mặt phẳng qua \(SM\) và song song với \(BC\), cắt \(AC\) tại \(N\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((ABC)\) bằng \(60^\circ\). Tính thể tích khối chóp \(S.BCNM\) và khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(SN\) theo \(a\).

Bài 3. (ĐH 2010A). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(AD\); \(H\) là giao điểm của \(CN\) với \(DM\). Biết \(SH\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\) và \(SH=a\sqrt{3}\). Tính thể tích khối chóp \(S.CDNM\) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(DM\) và \(SC\) theo \(a\).

Bài 4. (ĐH 2012A). Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \((ABC)\) là điểm \(H\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(HA=2HB\). Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABC)\) bằng \(60^\circ\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) theo \(a\).

Bài 5. (ĐH 2014D) Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), mặt bên \(SBC\) là tam giác đều cạnh \(a\) và mặt phẳng \((SBC)\) vuông góc với mặt đáy. Tính theo \(a\) thể tích của khối chóp \(S.ABC\) và khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA, BC\).