Bạn đang ở đây

Dùng tích vô hướng chứng minh vuông góc

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T5, 05/12/2019 - 4:13ch

Ví dụ 1. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trên hai cạnh \(AB\) và \(AC\) lần lượt lấy các điểm \(B'\) và \(C'\) sao cho \(AB.AB'=AC.AC'.\) Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Chứng minh \(AM \perp B'C'\).
Giải. Vì \(AM\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\) nên ta có \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\) Ta có
\(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{B'C'}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB'}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC'}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB'}\right)=\dfrac{1}{2}(AC.AC'-AB.AB')=0\). (Chú ý rằng, trong việc nhân phân phối trên, các vectơ vuông góc nhau có tích vô hướng bằng 0).
Vậy \(AM \perp B'C'.\)

Từ khoá: