Bạn đang ở đây

Giới hạn của dãy số

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T6, 30/12/2016 - 7:59sa

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Các định nghĩa về giới hạn của dãy số

a) Định nghĩa dãy số có giới hạn bằng 0

Ta nói dãy \(u_n\) có giới hạn là 0 khi \(n\) dần tới dương vô cực nếu \(|u_n|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: \[\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0\quad \text{hay}\quad u_n\rightarrow 0 \text{ khi }\ n\rightarrow +\infty\]

Ta quy ước chỉ cần viết \(\lim u_n\)

Định nghĩa khác \[\forall \epsilon > 0, \exists n_0 : \forall n \ge n_0 \Rightarrow \big|u_n\big|<\epsilon\]

b) Định nghĩa dãy số có giới hạn bằng a

\[\lim u_n =a \Leftrightarrow \lim (u_n -a)=0\]

2. Vài giới hạn đặc biệt

  • \(\lim \dfrac{1}{n}=0\);
  • \(\lim \dfrac{1}{n^k}=0\) với mọi \(k \in \mathbb{N^*}\)
  • \(\lim c = c\), với mọi hằng số \(c\)
  • \(\lim q^n =0\) với mọi \(-1 < q < 1\)

II. Định lý về giới hạn hữu hạn

Cho các dãy \((u_n), \;(v_n)\) có giới hạn hữu hạn \(\lim u_n=a,\) \(\lim v_n=b.\) Khi đó ta có:

  • \(\lim (u_n \pm v_n)=\lim u_n \pm \lim v_n\)
  • \(\lim (u_n. v_n)=\lim u_n .\lim v_n\)
  • \(\lim \dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{\lim u_n}{\lim v_n}\) trong đó \(u_n \ne 0 \; \forall n \in \mathbb{N^*}\) 
  • \(\lim \sqrt{u_n}=\sqrt{\lim u_n}\) trong đó \(u_n \ge 0 \; \forall n \in \mathbb{N^*}\) 

Ví dụ 1. Tính các giới hạn

  1. \(\lim\left(\dfrac{2}{n^2}-\dfrac{3}{n}\right)\)
  2. \(\lim\dfrac{2n+3}{n-2}\)
  3. \(\lim\dfrac{3n-2}{2n+5}\)
  4. \(\lim\dfrac{n^2-3n+1}{2n^2+3}\)
  5. \(\lim\dfrac{3-n^2}{n^2+2n-1}\)
  6. \(\lim\dfrac{n^3+8}{2-n+3n^3}\)
  7. \(\lim\dfrac{-2n^3+3n-1}{n^3}\)
  8. \(\lim\dfrac{3n^2-2n+5}{3n^3}\)
  9. \(\lim\dfrac{(n-2)(n+1)}{2n(n-3)}\)
  10. \(\lim\dfrac{(n^2+1)(2n-3)}{(n^2-1)(n+2)}\)
  11. \(\lim\dfrac{(2n+1)^3}{(n-2)^2(3n-1)}\)