Đề kiểm tra đạo hàm

(NHC 2015-2016)

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số

1. \(y=\dfrac{x^4}{2}-3x^3-3\cot x-2\sqrt{x}\)
2. \(y=\dfrac{2x^2-x-1}{3x^2+x+2}\)
3. \(y=\sqrt{\sin(2x+1)}\)

Đáp số:

1. \(y'=2x^3-9x^2+\dfrac{3}{\sin^2x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)
2. \(y'=\dfrac{5x^2+14x-1}{(3x^2+x+2)^2}\)
3. \(y'=\dfrac{\cos(2x+1)}{\sqrt{\sin(2x+1)}}\)

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{3}{4}x^4-3x^2+\dfrac{5}{4},\) biết tiếp điểm có hoành độ bằng \(-1.\)

Giải. Ta có \(y'=3x^3-6x.\) Gọi \(M(x_0;y_0)\) là tiếp điểm, ta có \(x_0=-1\), \(y_0=-1\), \(y'(-1)=3.\) Phương trình tiếp tuyến là \(y=3x+2.\)

Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{2x-3}{1-x}\) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d: y=-25x+13.\)

Giải. Ta có \(y'=\dfrac{-1}{(1-x)^2}.\) Gọi \(M(x_0;y_0)\) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=-25x+13\) nên \[\begin{array}{ll}&y'(x_0)=-25\\ \Leftrightarrow&\dfrac{-1}{(x_0-1)^2}=-25\\ \Leftrightarrow&(1-x_0)^2=\dfrac{1}{25}\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}1-x_0=\dfrac{1}{5}\\1-x_0=-\dfrac{1}{5}\end{array}\right.\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}x_0=\dfrac{4}{5}\\x_0=\dfrac{6}{5}\end{array}\right.\end{array}\]

Với \(x_0=\dfrac{4}{5}\) thì \(y_0=-7\), phương trình tiếp tuyến là \(y=-25x+13\) (loại vì trùng với \(d\))

Với \(x_0=\dfrac{6}{5}\) thì \(y_0=3\), phương trình tiếp tuyến là \(y=-25x+33.\)

Bài 4. Giải phương trình \(y'=0\), biết \(y=x+\sqrt{4-x^2}.\)

Giải. Ta có \(y'=1-\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}\). Để tồn tại đạo hàm thì \(4-x^2>0\Leftrightarrow-2<x<2.\)

\[\begin{array}{ll}&y'=0\\ \Leftrightarrow&1-\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}=0\\ \Leftrightarrow&\sqrt{4-x^2}=x\\ \Leftrightarrow&\begin{cases}x\ge0\\4-x^2=x^2\end{cases}\\ \Leftrightarrow&\begin{cases}x\ge0\\x=\pm\sqrt{2}\end{cases}\\ \Leftrightarrow&x=\sqrt{2}\end{array}\]

Vậy phương trình có 1 nghiệm \(x=\sqrt{2}.\)

Bài 5. Tìm trên đồ thị hàm số \(y=\dfrac{x+2}{x}\) toạ độ điểm \(M\) sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại \(M\) tạo với đường thẳng \(3x-y+5=0\) góc \(45^\circ.\)

Giải. Ta có \(y'=\dfrac{-2}{x^2}.\) Gọi \(M\left(a;\dfrac{a+2}{a}\right)\) (với \(a\ne0\)) là điểm thuộc đồ thị cần tìm. Gọi \(k\) là hệ số góc của tiếp tuyến, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng \(y=kx+m\) hay \(kx-y+m=0\). Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng \(3x-y+5=0\) nên \[\begin{array}{ll}&\cos45^\circ=\dfrac{|3k+1|}{\sqrt{k^2+1}.\sqrt{9+1}}\\ \Leftrightarrow&\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{|3k+1|}{\sqrt{10}.\sqrt{k^2+1}}\\ \Leftrightarrow&\sqrt{5}.\sqrt{k^2+1}=|3k-1|\\ \Leftrightarrow&5(k^2+1)=9k^2+6k+1\\ \Leftrightarrow&4k^2+6k-4=0\\ \Leftrightarrow&\left[\begin{array}{l}k=-2\\k=\frac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}\]

Với \(k=\dfrac{1}{2}\) ta có \(-\dfrac{2}{a^2}=\dfrac{1}{2}\), không tồn tại \(a\).

Với \(k=-2\) ta có \(-\dfrac{2}{a^2}=-2\Leftrightarrow a=\pm1\). Vậy tìm được \(M(1;3)\) hoặc \(M(-1;-1).\)