Định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ

Định nghĩa

Hàm số chẵn. Hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định \(D\) gọi là hàm số chẵn nếu thoả mãn 2 điều kiện sau:

• \(\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\)
• \(\forall x\in D: f(-x)=f(x)\)

Hàm số lẻ. Hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định \(D\) gọi là hàm số lẻ nếu thoả mãn 2 điều kiện sau:

• \(\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\)
• \(\forall x\in D: f(-x)=-f(x)\)

Chú ý. Điều kiện thứ nhất gọi là điều kiện tập xác định đối xứng qua số 0. Ví dụ \(D=(-2;2)\) là tập đối xứng qua số 0, còn tập \(D'=[-2;3]\) là không đối xứng qua 0. Tập \(\mathbb{R}=(-\infty;+\infty)\) là tập đối xứng.

Đồ thị của hàm số chẵn, lẻ

• Hàm số chẵn có đồ thị nhận trục tung \(Oy\) làm trục đối xứng.
• Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc toạ độ \(O\) làm tâm đối xứng.

Ví dụ. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

1. \(y=x^2\)
2. \(y=-x^3+3x\)
3. \(y=\big|2x\big|\)
4. \(y=\big|x-1\big|-\big|x+1\big|\)
5. \(y=2x+1\)
6. \(y=0\)

Chú ý:

• \(\big|-A\big|=\big|A\big|\)
• \(\big|-A-B\big|=\big|A+B\big|\)
• \(\big|A-B\big|=\big|B-A\big|\)

BÀI TẬP

Bài 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

1. \(y=\sqrt{4+x^2}\)
2. \(y=\dfrac{x}{x^2+1}\)
3. \(y=\sqrt{x-2}\)
4. \(y=\dfrac{x^3}{x^2+1}\)
5. \(y=\dfrac{x^2}{x^3-x}\)
6. \(y=x\sqrt{x^2+1}\)
7. \(y=\dfrac{|x|}{|x|+1}\)
8. \(y=|x-1|+|x+1|\)
9. \(y=\sqrt{x^2+4x+4}-\sqrt{x^2-4x+4}\)