định nghĩa đạo hàm

1. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Hàm số \(y=f(x)\) gọi là có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\) nếu nó có đạo hàm tại mọi \(x\) thuộc \((a;b).\)

2. Hàm số đạo hàm

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a;b).\) Ta có một hàm số mới biến mỗi \(x\) thuộc khoảng \((a;b)\) thành \(f'(x)\), hàm số này gọi là đạo hàm của hàm số \(f\) trên khoảng \((a;b).\)

Để tính đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại \(x=x_0\) ta tính giới hạn \[\mathop\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số \(y=f(x)=\sqrt{x}\) tại \(x=4.\)

Đáp số: \(f'(4)=\dfrac{1}{4}.\)

Ví dụ 2. Cho \(x_0>0\). Tính đạo hàm của hàm số \(y=f(x)=\sqrt{x}\) tại \(x=x_0.\)

Đáp số: \(f'(x_0)=\dfrac{1}{2\sqrt{x_0}}.\)

Bài toán. Tính giới hạn \(L=\mathop\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-\sqrt[5]{1-x}}{x}\)

Đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại \(x_0\) được định nghĩa là \(y'(x_0)=\mathop{\lim}\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\). Ta có \(\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\) là hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm \(M_0\big(x_0;f(x_0)\big)\) và \(M\big(x;f(x)\big)\). Do đó \(y'(x_0)\) chính là giới hạn của hệ số góc đó khi \(M\) dần về \(M_0\) dọc theo đường cong. Vậy \(y'(x_0)\) là hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M_0\).
\[k=f'(x_0)\]

Hệ số góc của đường thẳng

Hệ số góc của đường thẳng \(y=kx+m\) là \(k\).

Ta đã biết phương trình tổng quát của đường thẳng ở lớp 10 là \(Ax+By+C=0\) trong đó \(A, B\) không đồng thời bằng \(0\).

Nếu \(B=0\) thì \(A \ne 0\), khi đó phương trình trên viết lại thành dạng \(x=x_0\). Lúc này ta được đường thẳng có phương đứng và không có hệ số góc.

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của giải tích, là một công cụ rất mạnh giúp ta nghiên cứu hàm số về các phương diện như tính đơn điệu, cực trị, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, ...

Cho hàm số \(y=f(x)\) có tập xác định là một khoảng chứa \(x_0\), có nhiều bài toán thực tế dẫn đến việc xem xét giới hạn \(\mathop\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\).