Bạn đang ở đây

So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số bất kì

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T4, 25/03/2020 - 11:56sa

Trước tiên ta cần nhớ lại các công thức về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0 ở đây (điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương, âm, trái dấu, cùng dấu).

Ví dụ 1. Tìm \(m\) để phương trình \((m-1)x^2-2(m+3)x-m+2=0 \; (1)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thoả mãn \(x_1<1<x_2.\)

Giải. Để so sánh nghiệm \(x\) với số 1, ta đặt \(y=x-1\) và ta sẽ so sánh nghiệm \(y\) với số \(0\). Ta có phương trình mới
\((m-1)(y+1)^2-2(m+3)(y+1)-m+2=0 \; (2)\)
Phương trình (1) có nghiệm \(x_1<1<x_2\) khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm \(y_1<0<y_2\).
Phương trình (2) được viết lại thành
\((m-1)(y^2+2y+1)-2(m+3)y-2(m+3)-m+2=0\)
\(\Leftrightarrow (m-1)y^2+2(m-1)y+m-1-2(m+3)y-2(m+3)-m+2=0\)
\(\Leftrightarrow (m-1)y^2-8y-2m-5=0 \; (3)\)
Phương trình (1) có \(x_1<1<x_2\) khi và chỉ khi (3) có hai nghiệm phân biệt \(y_1; y_2\) trái dấu
\(\Leftrightarrow (m-1)(-2m-5)<0 \Leftrightarrow\) \(m<-\dfrac{5}{2}\) hoặc \(m>1.\)

Ngoài ra, ta có các công thức sau đây (chương trình SGK cũ)

Phương trình \(f(x)=ax^2+bx+c=0\)

  • Có hai nghiệm phân biệt \(x_1<x_0<x_2\) khi và chỉ khi \(a.f(x_0)<0\)
  • Có hai nghiệm phân biệt \(x_1<x_2<x_0\) khi và chỉ khi \(\begin{cases} \Delta >0 \\ a.f(x_0)>0 \\ -\dfrac{b}{2a} <x_0 \end{cases}\)
  • Có hai nghiệm phân biệt \(x_0<x_1<x_2\) khi và chỉ khi \(\begin{cases} \Delta >0 \\ a.f(x_0)>0 \\ -\dfrac{b}{2a} >x_0 \end{cases}\)
  • Có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) cùng lớn hoặc cùng bé hơn \(x_0\) (cùng phía với \(x_0\)) khi và chỉ khi \(\begin{cases} \Delta >0 \\ a.f(x_0)>0 \end{cases}\)

Áp dụng công thức này, ta giải lại ví dụ trên như sau:

Ví dụ 1. Tìm \(m\) để phương trình \(f(x)=(m-1)x^2-2(m+3)x-m+2=0 \; (1)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thoả mãn \(x_1<1<x_2.\)

Giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1<1<x_2\) khi và chỉ khi
\((m-1).f(1)<0 \Leftrightarrow (m-1)(-2m-5)<0\)