Bạn đang ở đây

Dùng bất đẳng thức AM - GM tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T5, 05/12/2019 - 3:42ch

Nhắc lại bất đẳng thức AM - GM (arithmetic mean - geometric mean) hay bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, còn gọi là bất đẳng thức Cô-si (Cauchy).

Với các số không âm $a, b, c, d, ...$. Ta có

  • $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$
  • $\dfrac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$
  • $\dfrac{a+b+c+d}{4} \ge \sqrt[4]{abcd}$
  • Tương tự cho $n$ số không âm.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\ldots$.

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2x+\dfrac{2}{x-2}$, với $x>2$.

Giải. $y=2x-4+\dfrac{2}{x-2}+4=2(x-2)+\dfrac{2}{x-2}+4 \ge 2\sqrt{2(x-2)\cdot \dfrac{2}{x-2}}+4=8.$
$y=8$ khi và chỉ khi $2(x-2)=\dfrac{2}{x-2} \Leftrightarrow (x-2)^2=1 \Leftrightarrow x-2=1 \Leftrightarrow x=3$. Vậy giá trị nhỏ nhất của $y$ là $8.$

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}.$

Giải. Hàm số xác định khi $1\le x \le 4.$ Ta có $y \ge 0$ và
$y^2=x-1+4-x+2\sqrt{(x-1)(4-x)}=3+2\sqrt{(x-1)(4-x)}$.
Áp dụng AM - GM cho 2 số không âm $x-1$ và $4-x$ ta có
$\sqrt{(x-1)(4-x)} \le \dfrac{x-1+4-x}{2}=\dfrac{3}{2}.$
Do đó $y^2 \le 6$. Suy ra $y \le \sqrt{6}$ và $y=\sqrt{6}$ khi và chỉ khi $x-1=4-x \Leftrightarrow x=\dfrac{5}{2}$.
Vậy $\max y=\sqrt{6}.$
Ta lại có $y^2=3+2\sqrt{(x-1)(4-x)}\ge 3 \Rightarrow y^2 \ge 3 \Rightarrow y \ge \sqrt{3}.$ Ta có $y=\sqrt{3}$ khi $x=1$ hoặc $x=4.$
Vậy $\min y=\sqrt{3}.$

Chuyên mục: