Bạn đang ở đây

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T6, 29/11/2019 - 12:05ch

Để chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể chứng minh nó tương đương với một bất đẳng thức đúng.

Bài 1. Chứng minh rằng $a^2+b^2 \ge 2ab$ với mọi $a, b \in \mathbb{R}$.

Bài 2. Chứng minh rằng $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ với mọi số không âm $a,b$.

Bài 3. Cho hai số không âm $a, b$ chứng minh $a^3+b^3 \ge a^2b+ab^2$.

Bài 4. Chứng minh $a^4+b^4 \ge a^3b+ab^3$ với mọi số thực $a,b$.

Bài 5. Chứng minh $a^4+b^4+ab(a+b)^2 \ge 2a^2b^2$ với mọi số thực $a, b$.

Giải. Ta có
\[\begin{array}{ll}
& a^4+b^4+ab(a+b)^2 \ge 2a^2b^2 \\
\Leftrightarrow & a^4+b^4+a^3b+2a^2b^2+ab^3 \ge 2a^2b^2\\
\Leftrightarrow & a^b+b^4+a^3b+ab^3 \ge 0 \\
\Leftrightarrow & a^3(a+b)+b^3(a+b) \ge 0 \\
\Leftrightarrow & (a+b)(a+b)(a^2-ab+b^2) \ge 0 \\
\Leftrightarrow & (a+b)^2\left[\left(a-\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\right] \ge 0
\end{array}
\]
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi $a, b \in \mathbb{R}$, do đó ta có điều phải chứng minh.

Chuyên mục: