Bạn đang ở đây

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T6, 29/11/2019 - 12:05ch

Để chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể chứng minh nó tương đương với một bất đẳng thức đúng.

Bài 1. Chứng minh rằng \(a^2+b^2 \ge 2ab\) với mọi \(a, b \in \mathbb{R}\).

Bài 2. Chứng minh rằng \(\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\) với mọi số không âm \(a,b\).

Bài 3. Cho hai số không âm \(a, b\) chứng minh \(a^3+b^3 \ge a^2b+ab^2\).

Bài 4. Chứng minh \(a^4+b^4 \ge a^3b+ab^3\) với mọi số thực \(a,b\).

Bài 5. Chứng minh \(a^4+b^4+ab(a+b)^2 \ge 2a^2b^2\) với mọi số thực \(a, b\).

Giải. Ta có
\[\begin{array}{ll} & a^4+b^4+ab(a+b)^2 \ge 2a^2b^2 \\ \Leftrightarrow & a^4+b^4+a^3b+2a^2b^2+ab^3 \ge 2a^2b^2\\ \Leftrightarrow & a^b+b^4+a^3b+ab^3 \ge 0 \\ \Leftrightarrow & a^3(a+b)+b^3(a+b) \ge 0 \\ \Leftrightarrow & (a+b)(a+b)(a^2-ab+b^2) \ge 0 \\ \Leftrightarrow & (a+b)^2\left[\left(a-\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\right] \ge 0 \end{array}\]
Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi \(a, b \in \mathbb{R}\), do đó ta có điều phải chứng minh.

Chuyên mục: