Cấp số nhân

1. Định nghĩa

Dãy số \((u_n)\) gọi là cấp số nhân nếu tồn tại số thực \(q\) thoả mãn điều kiện \[u_{n+1}=u_n.q \; \forall n\in\mathbb{N^*}\]

Số thực \(q\) gọi là công bội của cấp số nhân.

Cấp số nhân được xác định khi biết \(u_1\) và \(q.\)

Ví dụ 1. Mỗi dãy số \((u_n)\) xác định bởi công thức dưới đây có là cấp số nhân hay không?

1. \(u_n=3^n\)
2. \(u_n=\dfrac{2}{5^n}\)
3. \(u_n=\dfrac{4}{(-3)^n}\)
4. \(u_n=\dfrac{1}{n^4}\)

2. Công thức số hạng tổng quát

Cho cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1\), công bội \(q\). Ta có \[u_n=u_1.q^{n-1}\]

3. Tính chất số hạng của cấp số nhân

Trong ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, số hạng chính giữa bằng trung bình nhân của hai số hạng hai bên, nói cách khác \[\sqrt{u_{k-1}.u_{k+1}}=u_k \; \forall k \ge 2\]

4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Cho cấp số nhân \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1\) và công bội \(q.\) Đặt \(S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n.\) Ta có \[S_n=u_1.\dfrac{1-q^n}{1-q}=u_1\dfrac{q^n-1}{q-1}\]