Biểu thức toạ độ của tích vô hướng

1. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy\) cho các vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1; a_2)\), \(\overrightarrow{b}=(b_1; b_2)\). Tích vô hướng của \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) được tính bởi \[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2\]

2. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)\) là \[\Big|\overrightarrow{a}\Big|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\]

3. Độ dài đoạn thẳng: Cho hai điểm \(A(x_A; y_A)\) và \(B(x_B; y_B)\). Toạ độ vectơ \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A; y_B-y_A).\) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là \[AB=\Big|\overrightarrow{AB}\Big|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]

4. Góc giữa hai vectơ: Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(a_1;a_2)\) và \(\overrightarrow{b}=(b_1;b_2)\) được tính bởi công thức \[\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=\dfrac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\big|\overrightarrow{a}\big|.\big|\overrightarrow{b}\big|}=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2}}\]

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho các điểm \(A(1;2), B(0;1), C(4;3).\)

  1. Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}.\)
  2. Tính chu vi tam giác \(ABC.\)
  3. Tính cos của số đo góc \(A\) và góc \(B\) của tam giác \(ABC.\)
  4. Tính \(\sin B.\)
  5. Tính độ dài đường cao kẻ từ \(A\) của tam giác \(ABC.\)
  6. Tính diện tích tam giác \(ABC.\)

Chú ý: Với \(0^\circ\le\alpha\le 180^\circ\) thì ta có \(\sin\alpha >0\) và \[\sin^2\alpha + \cos^2\alpha=1\]

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho các điểm \(A(1;2), B(0;1), C(3;-1).\)

  1. Tìm tọa độ trực tâm \(H\) của tam giác \(ABC.\)
  2. Gọi \(H_1\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) của tam giác \(ABC.\) Tìm toạ độ của \(H_1.\)
  3. Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\) Tìm toạ độ của \(I.\)
  4. Tìm toạ độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC.\) Ba điểm \(I, H, G\) có thẳng hàng không? Vì sao?

 

Cùng chuyên mục:

MỚI CẬP NHẬT
Top