Bạn đang ở đây

Tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T5, 07/07/2016 - 7:41sa

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là loại khoảng cách quan trọng nhất, nó được dùng để tính các loại khoảng cách khác như khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Rất nhiều bài toán tính khoảng cách được chuyển về việc tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của hình chóp.

Bài toán tổng quát. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(H\) là chân đường cao. Ta cần tính khoảng cách từ \(H\) đến mặt bên \((SAB)\) của hình chóp.

Phân tích. Để vẽ đoạn vuông góc từ \(H\) đến mặt phẳng \((SAB)\) thường ta dựng mặt phẳng \((\beta)\) qua \(H\) và vuông góc với \((SAB)\) rồi vẽ đoạn vuông góc từ \(H\) đến giao tuyến (cách vẽ đoạn vuông góc từ điểm đến mặt phẳng). Trong mặt phẳng đáy vẽ \(HM\) vuông góc với \(AB\) tại \(M\). Khi đó ta có \((SMH) \bot (SAB)\) và giao tuyến của hai mặt phẳng này là \(SM\). Vẽ \(HK\) vuông góc với \(SM\) tại \(K\) thì theo định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc ta sẽ chứng minh được \(HK \bot (SAB)\). Khi đó \(\mathrm{d}\big(H,(SAB)\big)=HK.\)

Trong lời giải, ta không cần viết ra hai mặt phẳng vuông góc ở trên mà có thể chứng minh trực tiếp \(HK \bot (SAB)\).

Lời giải. Vẽ \(HM\) vuông góc với \(AB\) tại \(M\). Vẽ \(HK\) vuông góc với \(SM\) tại \(K\). Ta có \(AB \bot MH\) và \(AB \bot SH\) nên suy ra \(AB \bot (SMH)\), suy ra \(AB \bot HK.\) Mặt khác \(HK \bot SM\) nên suy ra \(HK \bot (SAB).\) Vậy \(\mathrm{d}\big(H,(SAB)\big)=HK.\)

Ví dụ 1. Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a,\) \(SC\bot(ABC),\) \(SC=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.\) Tính khoảng cách từ \(C\) đến \((SAB).\)

Nhận xét. Đây là bài toán đặc biệt trong trường hợp \(H\) trùng \(C.\)

Lời giải. Vẽ \(CM\) vuông góc với \(AB\) tại \(M\) và vẽ \(CK\) vuông góc với \(SM\) tại \(K.\) Ta có \(AB \bot CM\) và \(AB \bot SC\) suy ra \(AB\bot(SCM).\) Suy ra \(AB\bot CK.\) Mặt khác \(CK\bot SM\) nên suy ra \(CK\bot(SAB)\). Suy ra \(\mathrm{d}\big(C,(SAB)\big)=CK.\) Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(CM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\) Tam giác \(SCM\) vuông tại \(C\) có đường cao \(CK\) nên từ \(\dfrac{1}{CK^2}=\dfrac{1}{CM^2}+\dfrac{1}{SC^2}\) (công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông) ta tính được \(CK=\dfrac{a}{2}.\) Vậy \(\mathrm{d}\big(C,(SAB)\big)=\dfrac{a}{2}.\)

Ví dụ 2. Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(ABC\) và \(SBC)\) là các tam giác đều cạnh \(a,\) hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng đáy là trung điểm của \(BC.\) Tính khoảng cách từ \(H\) đến \((SAB).\)

Lời giải. Vẽ \(HM\) vuông góc với \(AB\) tại \(M\). Vẽ \(HK\) vuông góc với \(SM\) tại \(K.\) Ta có \(AB\bot MH\) và \(AB\bot SH\) nên \(AB\bot(SMH).\) Suy ra \(AB\bot HK.\) Mặt khác \(KH\bot SM\) suy ra \(HK\bot(SAB).\) Suy ra \(\mathrm{d}\big(H,(SAB)\big)=HK.\)

Gọi \(N\) là trung điểm \(AB\) ta có \(NH\parallel CN\) (vì cùng vuông góc với \(AB\)). Tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) nên \(CN=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\). Ta có \(MH\) là đường trung bình của tam giác \(BCN\) nên \(MH=\dfrac{CN}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\) Ta lại có \(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\) Từ hệ thức lượng \(\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{MH^2}\) ta tính được \(HK=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}.\) Vậy \(\mathrm{d}\big(H,(SAB)\big)=\dfrac{a\sqrt{15}}{10}.\)

Ví dụ 3. Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên bằng \(SA=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}.\) Gọi \(H\) là chân đường cao của hình chóp. Tính khoảng cách từ \(H\) đến mặt phẳng \((SAB).\)

Lời giải. Vì \(S.ABC\) là hình chóp đều nên \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC.\) Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\). Ta có \(AB\bot CM\) và \(AB\bot SH\) nên \(AB\bot(SCM).\) Suy ra \(AB\bot HK.\) Mặt khác \(HK\bot SM\) suy ra \(HK\bot(SAB).\) Suy ra \(\mathrm{d}\big(H,(SAB)\big)=HK.\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(CM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\) H là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(HM=\dfrac{1}{3}CM=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a}{2\sqrt{3}}\) và \(CH=\dfrac{2}{3}CM=\dfrac{a}{\sqrt{3}}.\) Tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\) nên \(SH=\sqrt{SC^2-CH^2}=\dfrac{a}{2\sqrt{6}}.\) Từ \(\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{HM^2}+\dfrac{1}{SH^2}\) suy ra \(HK=\dfrac{a}{6}.\) Vậy \(\mathrm{d}\big(H,(SAB)\big)=\dfrac{a}{6}.\)

Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả cạnh đều bằng \(a\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD,\) tính khoảng cách từ \(H\) đến mặt phẳng \((SCD).\)

Lời giải. Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(ABCD\) là hình vuông và \(SH\bot(ABCD).\) Vẽ \(HM\) vuông góc với \(CD\) tại \(M,\) vẽ \(HK\) vuông góc với \(SM\) tại \(K.\) Ta có \(CD\bot HM\) và \(CD\bot SH\) nên \(CD\bot(SHM).\) Suy ra \(CD\bot HK.\) Mặt khác \(HK\bot SM\) suy ra \(HK\bot(SCD).\) Suy ra \(\mathrm{d}\big(H,(SCD)\big)=HK.\)

\(MH\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\) nên \(MH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{a}{2}.\) Ta có \(ABCD\) là hình vuông nên \(CH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}.\) Tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\) nên \(SH=\sqrt{SC^2-HC^2}=\dfrac{a}{\sqrt{2}}.\) Tam giác \(SHM\) vuông tại \(H\) có đường cao \(HK\) nên \(\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{MH^2}.\) Suy ra \(HK=\dfrac{a}{\sqrt{6}}.\) Vậy \(\mathrm{d}\big(H,(SCD)\big)=\dfrac{a}{\sqrt{6}}.\)

Ví dụ 5. (Đề thi THPT quốc gia năm 2015) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD),\) góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\) bằng \(45^\circ.\) Tính heo \(a\) thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) và khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB, AC.\)

Lời giải.

a) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\):

Vì \(SA\bot(ABCD)\) nên hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(ABCD\) là \(AC.\) Suy ra góc giữa \(SC\) và \((ABCD)\) bằng góc \(\widehat{SCA}=45^\circ.\) Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC=a\sqrt{2}.\) Từ \(\tan45^\circ=\dfrac{SA}{AC}\) suy ra \(SA=a\sqrt{2}.\) Ta có \(S_{ABCD}=a^2.\) Ta có \(V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}.S_{ABCD}.SA=\dfrac{a^3\sqrt{2}}{3}.\)

b) Tính khoảng cách giữa \(SB\) và \(AC\):

Phân tích. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta chọn một mặt phẳng chứa đường thẳng này song song với đường thẳng kia rồi tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Ta nên chọn mặt phẳng chưa \(SB\) hay \(AC\)? Nếu từ \(A\) hoặc \(C\) mà vẽ đường thẳng song song với \(SB\) thì đường đó ra ngoài hình chóp, khó quan sát. Phương án vẽ mặt phẳng chứa \(SB\) và song song với \(AC\) hợp lý hơn. Nếu vẽ đường thẳng \(d\) qua \(B\) và song song với \(AC\) thì đường \(d\) là nằm trong mặt phẳng đáy. Như vậy ta có mp\((SB,d)\) (đặt tên là \((\alpha)\)) chứa \(SB\) và song song với \(AC\). Tiếp theo ta cần tính khoảng cách giữa \(AC\) và \((\alpha)\) song song nhau. Ta cần chọn một điểm trên đường thẳng \(AC\) và tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng \((\alpha)\). Ta chọn điểm \(A\) là hợp lý vì \(A\) là chân đường cao của hình chóp nên có nhiều giả thiết để khai thác. Tiếp theo ta cần vẽ đoạn vuông góc hạ từ \(A\) đến \((\alpha).\) Nếu vẽ \(AE\) vuông góc với \(d\) tại \(E\) thì ta được mặt phẳng \((SAE)\) vuông góc với \((\alpha)\) và hai mặt phẳng này có giao tuyến là \(SE.\) Do đó ta sẽ vẽ \(AH\) vuông góc với \(SE\) tại \(H\) thì sẽ chứng minh được \(AH\bot(SBE).\) Vậy khoảng cách cần tính là độ dài đoạn thẳng \(AH.\) Để ý rằng \(AE\) và \(BD\) song song với nhau vì cùng vuông góc với \(AC\). Ta có \(AEBO\) là hình chữ nhật nên \(AE=OB\). Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAE\) ta sẽ tính được đường cao \(AH.\)

Lời giải. Vẽ đường thẳng \(d\) qua \(B\) và song song với \(AC\). Đặt \((\alpha)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và \(SB\), ta có \((\alpha)\) chứa \(SB\) và song song với \(AC.\) Ta có \(\mathrm{d}\big(AC,SB\big)=\mathrm{d}\big(AC,(\alpha)\big)=\mathrm{d}\big(A,(\alpha)\big).\) Vẽ \(AE\) vuông góc với \(d\) tại \(E,\) vẽ \(AH\) vuông góc với \(SE\) tại \(H.\) Ta có \(BE\bot AE\) và \(BE\bot SA\) nên \(BE\bot (SAE).\) Suy ra \(BE\bot AH.\) Mặt khác \(AH\bot SE\) suy ra \(AH\bot (SBE).\) Suy ra \(\mathrm{d}\big(A,(SBE)\big)=AH.\) Ta có \(AEBO\) là hình chữ nhật nên \(AE=\dfrac{a}{\sqrt{2}}.\) Từ \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AE^2}\) suy ra \(AH=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}.\) Vậy \(\mathrm{d}\big(SB,AC\big)=\dfrac{a\sqrt{10}}{5}.\)

Ví dụ 6. (Đề thi đại học khối A năm 2014) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) \(SD=\dfrac{3a}{2},\) hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \((ABCD)\) là trung điểm của cạnh \(AB.\) Tính theo \(a\) thể tích khối chóp \(S.ABCD\) và khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBD).\)

 

Hướng dẫn. Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\), theo đề ta có \(SH\bot(ABCD).\) Áp dụng định lý pitago trong tam giác \(AHD\) ta tính được \(HD=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}.\) Đề cho \(SD=\dfrac{3a}{2}\), áp dụng định lý pitago trong tam giác \(SHD\) ta tính được đường cao \(SH\) của hình chóp. Từ đó tính được thể tích của khối chóp \(S.ABCD.\)

Việc tính khoảng cách từ \(A\) đến \((SBD)\) được chuyển về tính khoảng cách từ \(H\) đến mặt phẳng đó dựa vào công thức tỉ số khoảng cách từ hai điểm đến cùng một mặt phẳng. Đường thẳng qua \(A\) và \(H\) cắt mặt phẳng \((SBD)\) tại \(B\) và có \(AB=2HB\) nên \(\mathrm{d}\big(A,(SBD)\big)=2.\mathrm{d}\big(H,(SBD)\big).\) Vẽ \(HE\) vuông góc với \(BD\) tại \(E\) thì ta có \(BD\bot(SHE).\) Vẽ \(HK\bot SE\) thì ta sẽ chứng minh được \(HK\bot (SBD)\). Từ đó khoảng cách cần tính là độ dài \(HK.\) Khi tính \(HE\) ta để ý rằng \(HE\) là đường trung bình của tam giác \(ABO.\)

Chuyên mục: