Hàm số liên tục

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T7, 18/02/2017 - 5:55ch

1. Hàm số liên tục tại một điểm

a. Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \(K\) và \(x_0\in K.\) Hàm số gọi là liên tục tại \(x_0\) nếu \[\mathop {\lim }\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)=f(x_0) \quad (1)\]

Điều kiện (1) có thể được viết lại thành \[\mathop {\lim }\limits_{x \rightarrow x_0^+}f(x)=\mathop {\lim }\limits_{x \rightarrow x_0^-}f(x)=f(x_0) \quad (2)\]

Hàm số không liên tục tại \(x_0\) gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T5, 19/01/2017 - 9:56sa

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy,\) cho hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) có phương trình tham số, hoặc phương trình tổng quát cho sẵn. Ta phải xét xem hai đường thẳng này là song song nhau, hay cắt nhau, hay trùng nhau.

Phương pháp 1. Căn cứ vào số giao điểm của chúng (giải phương trình hoặc hệ phương trình tìm giao điểm)

Phương pháp 2. Căn cứ vào mối quan hệ của các vectơ chỉ phương.

Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM - GM)

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T3, 03/01/2017 - 10:00sa

Trung bình cộng của n số không âm \(a_1, a_2, \cdots a_n\) là \(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\)

Trung bình nhân của n số không âm \(a_1, a_2, \cdots a_n\) là \(\sqrt[n]{a_1.a_2\ldots a_n}\)

Định lý. Trung bình cộng của \(n\) số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(n\) số không âm đó bằng nhau.

\[\dfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1.a_2\ldots a_n}\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a_1=a_2=\cdots=a_n.\)

Định lý giới hạn kẹp

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T3, 03/01/2017 - 7:54sa

Định lý. Cho các dãy số \((u_n), (v_n), (w_n)\) thỏa điều kiện \(u_n \le v_n \le w_n \; \forall \; n \ge 1\) và \(\lim u_n = \lim w_n = a.\) Khi đó dãy số \((v_n)\) có giới hạn và \(\lim v_n =a.\)

Chú ý. Điều kiện \(u_n \le v_n \le w_n \; \forall \; n \ge 1\) có thể được thay bằng điều kiện \(\exists n_0 \in \mathbb{N} \; : u_n \le v_n \le w_n \; \forall \; n \ge n_0\) thì định lý vẫn còn đúng.

Áp dụng.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T3, 03/01/2017 - 7:48sa

Một cấp số nhân có công bội \(q\) gọi là cấp số nhân lùi vô hạn nếu \(|q|<1.\)

Cho cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1,\) công bội \(q.\) Đặt \[S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n\]

Ta đã biết tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân trên là \[S_n=u_1.\dfrac{1-q^n}{1-q}\]

Vì \(|q|<1\) nên \(\lim q^n=0.\) Từ đó ta có \[\lim S_n=\dfrac{u_1}{1-q}\]

Vậy cấp số nhân lùi vô hạn có giới hạn của tổng tất cả số hạng của nó là \[S=\dfrac{u_1}{1-q}\]

Tính giới hạn của dãy số bằng nhân lượng liên hợp

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T3, 03/01/2017 - 7:26sa

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

  1. \(\lim\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)\)
  2. \(\lim\left(\sqrt{n^2+n}+n\right)\)
  3. \(\lim\left(\sqrt{n^2+n}-2n\right)\)
  4. \(\lim\left(\sqrt{9n^2+n}-3n+2\right)\)
  5. \(\lim\left(2n-1-\sqrt{4n^2+9n}\right)\)
  6. \(\lim\left(2n-1+\sqrt{4n^2+9n}\right)\)

Bài 2. Tính các giới hạn sau:

Liên hệ giữa hệ số góc và vectơ chỉ phương của đường thẳng

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T5, 29/12/2016 - 8:15sa

Thuận

Cho đường thẳng \(d\) có hệ số góc \(k.\) Khi đó phương trình của \(d\) có dạng \(y=kx+m.\) Hay \(kx-y+m=0.\) Khi đó một vectơ pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow{n}=(k;-1).\) Suy ra \(\overrightarrow{u}=(1;k)\) là một vectơ chỉ phương của \(d.\)

Vậy đường thẳng có hệ số góc \(k\) thì có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(1;k).\)

Ngược lại

Trang

Đăng kí nhận thayphu.net RSS