Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T5, 19/01/2017 - 9:56sa

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy,\) cho hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) có phương trình tham số, hoặc phương trình tổng quát cho sẵn. Ta phải xét xem hai đường thẳng này là song song nhau, hay cắt nhau, hay trùng nhau.

Phương pháp 1. Căn cứ vào số giao điểm của chúng (giải phương trình hoặc hệ phương trình tìm giao điểm)

Phương pháp 2. Căn cứ vào mối quan hệ của các vectơ chỉ phương.

Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM - GM)

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T3, 03/01/2017 - 10:00sa

Trung bình cộng của n số không âm \(a_1, a_2, \cdots a_n\) là \(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\)

Trung bình nhân của n số không âm \(a_1, a_2, \cdots a_n\) là \(\sqrt[n]{a_1.a_2\ldots a_n}\)

Định lý. Trung bình cộng của \(n\) số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(n\) số không âm đó bằng nhau.

\[\dfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1.a_2\ldots a_n}\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a_1=a_2=\cdots=a_n.\)

Định lý giới hạn kẹp

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T3, 03/01/2017 - 7:54sa

Định lý. Cho các dãy số \((u_n), (v_n), (w_n)\) thỏa điều kiện \(u_n \le v_n \le w_n \; \forall \; n \ge 1\) và \(\lim u_n = \lim w_n = a.\) Khi đó dãy số \((v_n)\) có giới hạn và \(\lim v_n =a.\)

Chú ý. Điều kiện \(u_n \le v_n \le w_n \; \forall \; n \ge 1\) có thể được thay bằng điều kiện \(\exists n_0 \in \mathbb{N} \; : u_n \le v_n \le w_n \; \forall \; n \ge n_0\) thì định lý vẫn còn đúng.

Áp dụng.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T3, 03/01/2017 - 7:48sa

Một cấp số nhân có công bội \(q\) gọi là cấp số nhân lùi vô hạn nếu \(|q|<1.\)

Cho cấp số nhân có số hạng đầu \(u_1,\) công bội \(q.\) Đặt \[S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n\]

Ta đã biết tổng \(n\) số hạng đầu của cấp số nhân trên là \[S_n=u_1.\dfrac{1-q^n}{1-q}\]

Vì \(|q|<1\) nên \(\lim q^n=0.\) Từ đó ta có \[\lim S_n=\dfrac{u_1}{1-q}\]

Vậy cấp số nhân lùi vô hạn có giới hạn của tổng tất cả số hạng của nó là \[S=\dfrac{u_1}{1-q}\]

Tính giới hạn của dãy số bằng nhân lượng liên hợp

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T3, 03/01/2017 - 7:26sa

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

  1. \(\lim\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)\)
  2. \(\lim\left(\sqrt{n^2+n}+n\right)\)
  3. \(\lim\left(\sqrt{n^2+n}-2n\right)\)
  4. \(\lim\left(\sqrt{9n^2+n}-3n+2\right)\)
  5. \(\lim\left(2n-1-\sqrt{4n^2+9n}\right)\)
  6. \(\lim\left(2n-1+\sqrt{4n^2+9n}\right)\)

Bài 2. Tính các giới hạn sau:

Liên hệ giữa hệ số góc và vectơ chỉ phương của đường thẳng

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T5, 29/12/2016 - 8:15sa

Thuận

Cho đường thẳng \(d\) có hệ số góc \(k.\) Khi đó phương trình của \(d\) có dạng \(y=kx+m.\) Hay \(kx-y+m=0.\) Khi đó một vectơ pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow{n}=(k;-1).\) Suy ra \(\overrightarrow{u}=(1;k)\) là một vectơ chỉ phương của \(d.\)

Vậy đường thẳng có hệ số góc \(k\) thì có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=(1;k).\)

Ngược lại

Phương trình đường thẳng

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T5, 29/12/2016 - 7:30sa

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ \(\overrightarrow{u}\ne\overrightarrow{0}\) gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) nếu giá của \(\overrightarrow{u}\) là đường thẳng song song hoặc trùng với \(d\).

Xem đầy đủ ở đây

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Vectơ trong không gian

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T4, 28/12/2016 - 11:32ch

Ta đã học về vectơ trong mặt phẳng ở lớp 10. Ở đó ta đã biết phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, tích vectơ với một số, góc giữa hai vectơ, tích vô hướng của hai vectơ. Toàn bộ các kiến thức về vectơ đã biết trong mặt phẳng được mở rộng ra không gian. Khi ra ngoài không gian, ta có thêm khái niệm ba vectơ đồng phẳng, sự phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ.

1. Định nghĩa và các phép toán vectơ trong không gian

Trang

Đăng kí nhận thayphu.net RSS