Dùng tích vô hướng chứng minh vuông góc

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T5, 05/12/2019 - 4:13ch

Ví dụ 1. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Trên hai cạnh \(AB\) và \(AC\) lần lượt lấy các điểm \(B'\) và \(C'\) sao cho \(AB.AB'=AC.AC'.\) Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Chứng minh \(AM \perp B'C'\).
Giải. Vì \(AM\) là trung tuyến của tam giác \(ABC\) nên ta có \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\) Ta có

Từ khoá:

Dùng bất đẳng thức AM - GM tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T5, 05/12/2019 - 3:42ch

Nhắc lại bất đẳng thức AM - GM (arithmetic mean - geometric mean) hay bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, còn gọi là bất đẳng thức Cô-si (Cauchy).

Với các số không âm \(a, b, c, d, ...\). Ta có

  • \(\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\)
  • \(\dfrac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}\)
  • \(\dfrac{a+b+c+d}{4} \ge \sqrt[4]{abcd}\)
  • Tương tự cho \(n\) số không âm.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\ldots\).

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T6, 29/11/2019 - 12:05ch

Để chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể chứng minh nó tương đương với một bất đẳng thức đúng.

Bài 1. Chứng minh rằng \(a^2+b^2 \ge 2ab\) với mọi \(a, b \in \mathbb{R}\).

Bài 2. Chứng minh rằng \(\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\) với mọi số không âm \(a,b\).

Bài 3. Cho hai số không âm \(a, b\) chứng minh \(a^3+b^3 \ge a^2b+ab^2\).

Bất phương trình mũ và logarit

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T3, 12/11/2019 - 10:03sa

Một số công thức biến đổi khi giải bất phương trình mũ và logarit

Cho cơ số \(a>1\) và \(b>0\). Ta có các công thức biến đổi sau:

  • \(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)
  • \(a^{f(x)}>b\Leftrightarrow f(x)>\log_ab\)
  • \(\log_a f(x)>\log_a g(x) \Leftrightarrow f(x)>g(x)\)
  • \(\log_a f(x)>b \Leftrightarrow f(x)>a^b\)

Cho cơ số \(0<a<1\) và \(b>0\). Ta có các công thức biến đổi sau:

Bất phương trình mũ đưa về cùng cơ số

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T2, 11/11/2019 - 10:19sa

Ví dụ. Giải các bất phương trình

  1. \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4x^2-15x+13}<2^{2x-4}\)
  2. \(4^{x^2-x-6}>1\)

Bài tập. Giải các bất phương trình

  1. \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x+5}<9\)
  2. \(2^{x+3}-2^{x+2}>5^{x+1}-5^x\)

Phương pháp đưa về cùng cơ số giải phương trình logarit

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T2, 11/11/2019 - 10:19sa

Ví dụ. Giải các phương trình

  1. \(\log_4 (x+7)=\log_2 (x+1)\)
  2. \(2\log_9x+9\log_3x=10\)
  3. \(\log_\frac{1}{3}x+\dfrac{5}{2}=\log_x3\)
  4. \(\dfrac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}(x-1)-\log_{\frac{1}{2}}(x+5)=\log_4(3x+1)^2\)

Bài tập. Giải các phương trình

  1. \(\log_7(x-1)-\log_7(2x-11)=\log_72\)
  2. \(\log_4(x^2-2x+1)=\log_2(x-1)\)

Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ. Giải các phương trình

  1. \(4^x-5.2^x=25\)
  2. \(9^{2x+4}-4.3^{2x+5}+27=0\)
  3. \(3^{2-x}+3^{2+x}=30\)
  4. \(5^{\sqrt{x}}-5^{3-\sqrt{x}}=20\)
  5. \(2\left(\dfrac{2}{3}\right)^x+2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{x+1}=5\)
  6. \(9^x+6^x=2.4^x\)
  7. \(5.4^x-7.10^x+2.25^x=0\)
  8. \(9^{x^2+x-1}-10.3^{x^2+x-2}+1=0\)
  9. \(\left(3+2\sqrt{2}\right)^x+\left(3-2\sqrt{2}\right)^x=6\)

Bài tập. Giải các phương trình

Trang

Đăng kí nhận thayphu.net RSS