Tích vô hướng của hai vectơ

Định nghĩa

Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là một số thực được xác định như sau.

\[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\big|\overrightarrow{a}\big|.\big|\overrightarrow{b}\big|.\cos \big(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\big)\]

Tích vô hướng của vectơ \(\overrightarrow{a}\) với chính nó gọi là bình phương vô hướng của vectơ \(\overrightarrow{a}\) và kí hiệu là \(\overrightarrow{a}^2\). Ta có

\[\overrightarrow{a}^2=\big|\overrightarrow{a}\big|^2\]

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\). Khi đó

\[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{a} \bot \overrightarrow{b}\]

Tính chất

  • \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}\)
  • \(\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}\)
  • \(\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}\)
  • \(\left(k\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}.\left(k\overrightarrow{b}\right)=k\left(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\right)\)
  • \(\overrightarrow{a}^2\ge0;\) \(\overrightarrow{a}^2=0\Leftrightarrow\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}.\)

Nhận xét

  • \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)^2=\overrightarrow{a}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2\)
  • \(\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)^2=\overrightarrow{a}^2-2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{b}^2\)
  • \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right).\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\overrightarrow{a}^2-\overrightarrow{b}^2\)

Ví dụ. Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a,\) gọi \(H\) là trung điểm \(BC.\) Tính tích vô hướng của các cặp vectơ sau:

  1. \(\overrightarrow{AH}\) và \(\overrightarrow{BC}\)
  2. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\)
  3. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CA}\)
  4. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AH}\)
  5. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{HA}\)
  6. \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BC}\)

Cùng chuyên mục:

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm là kiến thức cơ bản cần nhớ…

Cách giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn kèm bài tập áp dụng

Cách giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn kèm bài tập áp dụng

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng thuộc toán học cơ bản lớp 10,…

Cách tìm tập xác định của hàm số lớp 10 chuẩn nhất

Cách tìm tập xác định của hàm số lớp 10 chuẩn nhất

Tập xác định của hàm số là tập tất cả các giá trị có biến…

Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng oxy và oxyz

Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng oxy và oxyz

Chia sẻ cách công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng oxy…

Công thức tính tiệm cận đứng và bài tập áp dụng nhanh nhất

Công thức tính tiệm cận đứng và bài tập áp dụng nhanh nhất

Tìm hiểu khái niệm tiệm cận đứng, tìm tiệm cận đứng chính xác nhất bằng…

Cách giải bất phương trình chứa căn - toán lớp 10

Cách giải bất phương trình chứa căn - toán lớp 10

Bất phương trình chứa căn có nhiều dạng bài hay và khó, thường có trong…

Nắm vững hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong 5 phút

Nắm vững hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong 5 phút

Tìm hiểu chi tiết kiến thức về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.…

Góc lượng giác toán lớp 10 và mẹo nhớ công thức nhanh

Góc lượng giác toán lớp 10 và mẹo nhớ công thức nhanh

kiến thức cơ bản về góc lượng giác lớp 10 và các bài tập áp…

MỚI CẬP NHẬT
Top