Bạn đang ở đây

Định lý sin trong tam giác

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T2, 18/07/2016 - 9:15ch

Gọi \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Ta có công thức \[\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\] Trong đó \(a=BC,\) \(b=CA,\) \(c=AB.\)

Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh \(\dfrac{a}{\sin A}=2R,\) các dấu bằng kia hoàn toàn tương tự. Ta xét 3 trường hợp sau:

Trường hợp 1. Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Khi đó \(\sin A=\sin90^\circ=1\). Vì \(BC\) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) nên \(a=BC=2R.\) Vậy \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{BC}{1}=2R.\)

Trường hợp 2. Góc \(\widehat{A}\) nhọn. Gọi \(D\) là điểm sao cho \(BD\) là đường kính. Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn nên \(\widehat{A}=\widehat{D}\). Từ đó \(\sin A=\sin D=\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{a}{2R}.\) Suy ra \(\dfrac{a}{\sin A}=2R.\)

Trường hợp 3. Góc \(\widehat{A}\) tù. Gọi \(D\) là điểm sao cho \(BD\) là đường kính. Tứ giác \(ABDC\) nội tiếp đường tròn nên \(\widehat{A}+\widehat{D}=180^\circ\). Suy ra \(\sin A=\sin D\) (hai góc bù nhau có sin bằng nhau). Ta có \(\sin D=\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{a}{2R}.\) Suy ra \(\dfrac{a}{\sin A}=2R.\)

Từ khoá:

Bình luận