Bạn đang ở đây

bất đẳng thức

Dùng bất đẳng thức AM - GM tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T5, 05/12/2019 - 3:42ch

Nhắc lại bất đẳng thức AM - GM (arithmetic mean - geometric mean) hay bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, còn gọi là bất đẳng thức Cô-si (Cauchy).

Với các số không âm $a, b, c, d, ...$. Ta có

  • $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$
  • $\dfrac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$
  • $\dfrac{a+b+c+d}{4} \ge \sqrt[4]{abcd}$
  • Tương tự cho $n$ số không âm.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\ldots$.

Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T6, 29/11/2019 - 12:05ch

Để chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể chứng minh nó tương đương với một bất đẳng thức đúng.

Bài 1. Chứng minh rằng $a^2+b^2 \ge 2ab$ với mọi $a, b \in \mathbb{R}$.

Bài 2. Chứng minh rằng $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ với mọi số không âm $a,b$.

Bài 3. Cho hai số không âm $a, b$ chứng minh $a^3+b^3 \ge a^2b+ab^2$.

Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM - GM)

Ảnh của tanphu
tanphu gửi vào T3, 03/01/2017 - 10:00sa

Trung bình cộng của n số không âm \(a_1, a_2, \cdots a_n\) là \(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\)

Trung bình nhân của n số không âm \(a_1, a_2, \cdots a_n\) là \(\sqrt[n]{a_1.a_2\ldots a_n}\)

Định lý. Trung bình cộng của \(n\) số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(n\) số không âm đó bằng nhau.

\[\dfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1.a_2\ldots a_n}\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a_1=a_2=\cdots=a_n.\)

Đăng kí nhận RSS - bất đẳng thức