bất đẳng thức

Nhắc lại bất đẳng thức AM - GM (arithmetic mean - geometric mean) hay bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, còn gọi là bất đẳng thức Cô-si (Cauchy).

Với các số không âm \(a, b, c, d, ...\). Ta có

• \(\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\)
• \(\dfrac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}\)
• \(\dfrac{a+b+c+d}{4} \ge \sqrt[4]{abcd}\)
• Tương tự cho \(n\) số không âm.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\ldots\).

Để chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể chứng minh nó tương đương với một bất đẳng thức đúng.

Bài 1. Chứng minh rằng \(a^2+b^2 \ge 2ab\) với mọi \(a, b \in \mathbb{R}\).

Bài 2. Chứng minh rằng \(\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}\) với mọi số không âm \(a,b\).

Bài 3. Cho hai số không âm \(a, b\) chứng minh \(a^3+b^3 \ge a^2b+ab^2\).

Trung bình cộng của n số không âm \(a_1, a_2, \cdots a_n\) là \(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\)

Trung bình nhân của n số không âm \(a_1, a_2, \cdots a_n\) là \(\sqrt[n]{a_1.a_2\ldots a_n}\)

Định lý. Trung bình cộng của \(n\) số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(n\) số không âm đó bằng nhau.

\[\dfrac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1.a_2\ldots a_n}\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a_1=a_2=\cdots=a_n.\)