thayphu.net

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Cho $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $O$ và song song với $SA$ và $CD$. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$.

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Cho $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $O$ và song song với mặt phẳng $(SCD)$. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$.

Bài 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là một điểm di động trên đoạn $AD$ (không trùng với $A$ và $D$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với mặt phẳng $(SCD)$.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Trên hai cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt lấy các điểm $B'$ và $C'$ sao cho $AB.AB'=AC.AC'.$ Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $AM \perp B'C'$.
Giải. Vì $AM$ là trung tuyến của tam giác $ABC$ nên ta có $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).$ Ta có

Nhắc lại bất đẳng thức AM - GM (arithmetic mean - geometric mean) hay bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, còn gọi là bất đẳng thức Cô-si (Cauchy).

Với các số không âm $a, b, c, d, ...$. Ta có

• $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$
• $\dfrac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$
• $\dfrac{a+b+c+d}{4} \ge \sqrt[4]{abcd}$
• Tương tự cho $n$ số không âm.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\ldots$.

Để chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể chứng minh nó tương đương với một bất đẳng thức đúng.

Bài 1. Chứng minh rằng $a^2+b^2 \ge 2ab$ với mọi $a, b \in \mathbb{R}$.

Bài 2. Chứng minh rằng $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ với mọi số không âm $a,b$.

Bài 3. Cho hai số không âm $a, b$ chứng minh $a^3+b^3 \ge a^2b+ab^2$.

Bài tập. Giải các bất phương trình sau.

1. \(\log(12-x)>0\)
2. \(\log_3(8-x)\le 9\)
3. \(\log_\frac{1}{2}(5x+10)\ge\log_\frac{1}{2}(x^2+6x+8)\)
4. \(\log_\frac{1}{5}(x^2-6x+8)+2\log_5(x-4)<0\)

Ta có 2 phương pháp giải bất phương trình logarit:

Ví dụ. Giải các bất phương trình sau

1. \(3^x>9\)
2. \((\frac{1}{2})^{2x}<\dfrac{1}{2}\)
3. \(9^x-2.3^x-3<0\)
4. \(3^x+9.3^{-x}-10<0\)
5. \(5.4^x+2.25^x-7.10^x\le 0\)
6. \(4.7^{x+1}-7^{-x}+4<0\)
7. \(25^\sqrt{x}+5<5^{\sqrt{x}+1}+5^\sqrt{x}\)
8. \(\dfrac{2^{1-x}+1-2^x}{2^x-1}\le 0\)

Một số công thức biến đổi khi giải bất phương trình mũ và logarit

Cho cơ số \(a>1\) và \(b>0\). Ta có các công thức biến đổi sau:

• \(a^{f(x)}>a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x)\)
• \(a^{f(x)}>b\Leftrightarrow f(x)>\log_ab\)
• \(\log_a f(x)>\log_a g(x) \Leftrightarrow f(x)>g(x)\)
• \(\log_a f(x)>b \Leftrightarrow f(x)>a^b\)

Cho cơ số \(0<a<1\) và \(b>0\). Ta có các công thức biến đổi sau:

Ví dụ. Giải các bất phương trình

1. \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4x^2-15x+13}<2^{2x-4}\)
2. \(4^{x^2-x-6}>1\)

Bài tập. Giải các bất phương trình

1. \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2x+5}<9\)
2. \(2^{x+3}-2^{x+2}>5^{x+1}-5^x\)

Ví dụ. Giải các phương trình

1. \(\log_4 (x+7)=\log_2 (x+1)\)
2. \(2\log_9x+9\log_3x=10\)
3. \(\log_\frac{1}{3}x+\dfrac{5}{2}=\log_x3\)
4. \(\dfrac{1}{2}\log_\sqrt{2}(x-1)-\log_\frac{1}{2}(x+5)=\log_4(3x+1)^2\)

Bài tập. Giải các phương trình

1. \(\log_7(x-1)-\log_7(2x-11)=\log_72\)
2. \(\log_4(x^2-2x+1)=\log_2(x-1)\)