thayphu.net

1. Tỉ số diện tích tam giác

Cho tam giác \(ABC\) có \(M\) và \(N\) lần lượt là điểm trên cạnh \(AB\) và \(AC\). Gọi \(S_1, S\) lần lượt là diện tích các tam giác \(AMN\) và \(ABC\). Ta có
\[\dfrac{S_1}{S}=\dfrac{AM}{AB}\cdot\dfrac{AN}{AC}.\]

2. Tỉ số thể tích trong tứ diện

Cho hình chóp \(S.ABC.\) Gọi \(M, N, P\) lần lượt là các điểm thuộc các cạnh bên \(SA, SB, SC\). Khi đó ta có công thức
\[\dfrac{V_{S.MNP}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{SM}{SA}\cdot\dfrac{SN}{SB}\cdot\dfrac{SP}{SC}.\]

[Hình học 12, chương 3: Phương pháp toạ độ trong không gian]

Trước tiên ta cần nhớ lại các công thức về so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0 ở đây (điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương, âm, trái dấu, cùng dấu).

Ví dụ 1. Tìm \(m\) để phương trình \((m-1)x^2-2(m+3)x-m+2=0 \; (1)\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thoả mãn \(x_1<1<x_2.\)

Phương trình tích là phương trình dạng 

• \(A.B=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A=0 \\ B=0 \end{array} \right.\)
• \(A.B.C=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} A=0 \\ B=0 \\ C=0 \end{array} \right.\)

trong đó, \(A, B\) là các biểu thức chứa ẩn \(x.\)

Bài 1. Giải các phương trình

Các bước giải phương trình có ẩn ở mẫu:

1. Đặt điều kiện.
2. Quy đồng mẫu, bỏ mẫu, tìm x
3. Với x vừa tìm, so điều kiện và kết luận nghiệm.

Bài 1. Giải các phương trình sau

Bài 1. Tìm tất cả giá trị của \(m\) để bất phương trình \(x^2-4x-m-5<0\) có nghiệm.

Giải. Đặt \(f(x)=x^2-4x-m-5.\) Hệ số \(a=1> 0.\) Ta có \(\Delta' = 4 +m+5=m+9.\) Ta xét các trường hợp:

Tính các nguyên hàm

1. \(\displaystyle\int\dfrac{1}{5^x}\left(\dfrac{\left(\sqrt{5}\right)^{2x+4}}{3x-2}+4^{2x}\right)\mathrm{d}x\)
2. \(\displaystyle\int\dfrac{1}{\cos x}\left(1-\sin^2x-\dfrac{1}{\cos x}\right)\mathrm{d}x\)
3. \(\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{\sin^2x.\cos^2x}\)

Giải

Cho tam thức bậc hai \(f(x)=ax^2+bx+c\), trong đó \(a \ne 0\). Đặt \(\Delta = b^2-4ac.\) Ta có 3 trường hợp về dấu của \(f(x)\) như sau:

• Nếu \(\Delta>0\) thì "trong trái ngoài cùng". Nghĩa là khi \(x\) thuộc khoảng giữa hai nghiệm \(x_1, x_2\) thì \(f(x)\) trái dấu với \(a\); Khi \(x\) thuộc khoảng ngoài 2 nghiệm thì \(f(x)\) cùng dấu với \(a\).
• Nếu \(\Delta =0\) thì \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi \(x\) khác nghiệm kép \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\).
• Nếu \(\Delta<0\) thì \(f(x)\) cùng dấu với \(a\) với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\).

Bài 1. Chứng minh phương trình \((m+1)x^2+4mx-3m-5=0\) luôn có nghiệm với mọi \(m\).

Bài 2. Chứng minh phương trình \(2x^2-2(m+1)x+m^2+4=0\) luôn vô nghiệm với mọi \(m\).

Bài 3. Tìm \(m\) để bất phương trình \(x^2+(m+1)x+2m+7\ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x\).

Bài 4. Tìm \(m\) để bất phương trình \(mx^2-4mx+8<0\) nghiệm đúng với mọi \(x\).

Bài 5. Tìm \(m\) để bất phương trình \((2m+3)x^2+2(m-1)x+4\ge 0\) vô nghiệm.

Bài 6. Tìm \(m\) để bất phương trình \(mx^2-4mx+8<0\) vô nghiệm.

Bài 1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Cho \((\alpha)\) là mặt phẳng qua \(O\) và song song với \(SA\) và \(CD\). Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \((\alpha)\).