thayphu.net

Tính chất vector của trọng tâm tam giác

Cho tam giác \(ABC\). Ta có

\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}\) (với \(M\) tuỳ ý.

Chứng minh.

Áp dụng. 

Quy tắc trừ

• \(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}\)
• \(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{MN}\)

Hiệu hai vectơ có chung điểm gốc (điểm đầu) được một vectơ mất điểm đầu đó đi, hai điểm ngọn còn lại được viết theo thứ tự ngược.

Hiệu hai vectơ có chung điểm ngọn (điểm cuối) được một vectơ mất điểm ngọn đó đi, hai điểm gốc còn lại được viết theo thứ tự xuôi.

Mệnh đề kéo theo. 
Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$. Mệnh đề ``Nếu $P$ thì $Q$'' được gọi là mệnh đề kéo theo, được kí hiệu là $P\Rightarrow Q.$
Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ còn được phát biểu bằng lời là `` $P$ kéo theo $Q$'', ``$P$ suy ra $Q$'' hay ``Vì $P$ nên $Q$''.

Tính đúng sai của mệnh đề théo theo:
Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi $P$ đúng $Q$ sai.

Bạn đã từng thắc mắc rằng tại sao lại là chọn 6/45 quả cầu, tại sao người ta lại đưa ra cơ cấu giải thưởng như vậy, người ta đã tính toán như thế nào để đưa ra luật chơi mà tương lai họ không bị phá sản chưa?

Bài viết này chỉ dùng những kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa, học sinh lớp 11 học xong chương tổ hợp và xác suất có thể đọc hiểu được.

Dưới đây là kỳ vọng đã tính được tương ứng với vài giá trị khác nhau của giải đặc biệt.

1. Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) và \(\mathscr{D}\) là một tập con của tập xác định của hàm số.

\(M = \mathop {\max }\limits_\mathscr{D} f(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} f(x) \le M \quad \forall x \in \mathscr{D} \\ \exists x_0 \in \mathscr{D} : f(x_0)=M \end{array}\right.\)

\(m = \mathop {\min }\limits_\mathscr{D} f(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} f(x) \ge m \quad \forall x \in \mathscr{D} \\ \exists x_0 \in \mathscr{D} : f(x_0)=m \end{array}\right.\)

Phương pháp. Nếu đề bài yêu cầu tìm toạ độ của điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d: \begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\end{cases}\) thì ta sẽ tham số hoá toạ độ điểm \(M(x_0+at;y_0+bt)\) rồi dựa vào điều kiện của đề bài đi thiết lập một phương trình để tìm \(t.\)

Ví dụ 1. Tìm toạ độ điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(d: \begin{cases}x=1+3t\\y=2-t\end{cases}\) biết \(M\) cách \(A(5;3)\) một đoạn bằng \(\sqrt{5}.\)

1. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Hàm số \(y=f(x)\) gọi là có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\) nếu nó có đạo hàm tại mọi \(x\) thuộc \((a;b).\)

2. Hàm số đạo hàm

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((a;b).\) Ta có một hàm số mới biến mỗi \(x\) thuộc khoảng \((a;b)\) thành \(f'(x)\), hàm số này gọi là đạo hàm của hàm số \(f\) trên khoảng \((a;b).\)

Để tính đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại \(x=x_0\) ta tính giới hạn \[\mathop\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số \(y=f(x)=\sqrt{x}\) tại \(x=4.\)

Đáp số: \(f'(4)=\dfrac{1}{4}.\)

Ví dụ 2. Cho \(x_0>0\). Tính đạo hàm của hàm số \(y=f(x)=\sqrt{x}\) tại \(x=x_0.\)

Đáp số: \(f'(x_0)=\dfrac{1}{2\sqrt{x_0}}.\)

Bài 1. Cho các điểm \(A(2;-1), B(3;0), C(4;3).\)

Câu hỏi của một bạn:

\[\begin{array}{ll}&\lim\dfrac{(2n\sqrt{n}+1)(\sqrt{n}+3)}{(n+1)(n+2)}\\ =&\lim\dfrac{n\sqrt{n}\left(2+\dfrac{1}{n\sqrt{n}}\right)\sqrt{n}\left(1+\dfrac{3}{\sqrt{n}}\right)}{n^2\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}\\ =&\lim\dfrac{\left(2+\dfrac{1}{n\sqrt{n}}\right)\left(1+\dfrac{3}{\sqrt{n}}\right)}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}\\=&2\end{array}\]